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Come risolvere le equazioni di secondo grado





EQUAZIONI DI SECONDO GRADO COMPLETE

Un'equazione di secondo grado ad una incognita x completa ha la forma \displaystyle ax^2+bx+c=0 con a\neq 0.

Per il teorema fondamentale dell'algebra, le soluzioni (dette anche radici o zeri) delle equazioni di secondo grado in \mathbb{C} sono sempre due, se contate con la loro molteplicità. In \mathbb{R} invece possono ammettere due soluzioni, una soluzione doppia, oppure nessuna soluzione.

Le soluzioni in \mathbb{R}  si trovano con la formula \displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.

in cui con \displaystyle \Delta = b^2 - 4ac indichiamo il discriminante.

  • se \displaystyle \Delta>0 l'equazione ammette due soluzioni distinte;
  • se \displaystyle \Delta=0 l'equazione ammette una soluzione doppia (con molteplicità 2);
  • se \displaystyle \Delta<0 l'equazione non ammette soluzioni.

Se b è pari si può utilizzare la formula ridotta \displaystyle x_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{(\frac{b}{2})^2-ac}}{a}.

ESERCIZIO

Risolvi le seguenti equazioni complete:

a) \displaystyle 3x^2+4x+1=0

b)\displaystyle x^2+2x+1=0

c) \displaystyle 5x^2+2x+2=0

SOLUZIONE

a) \displaystyle 3x^2+4x+1=0

Sostituiamo a=+3,  b=+4,  c=+1 nella formula \displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

\displaystyle x_{1,2}=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot 3\cdot 1}}{2\cdot 3}=\frac{-4\pm\sqrt{4}}{6}

L'equazione ammette due soluzioni distinte \displaystyle x_{1}=-\frac{1}{3} \vee \displaystyle x_{2}=-1 (\displaystyle \Delta>0).

b) \displaystyle x^2+2x+1=0

Sostituiamo a=+1,  b=+2,  c=+1 nella formula \displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

\displaystyle x_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot 1}}{2\cdot 1}=\frac{-2\pm\sqrt{0}}{2}

L'equazione ammette una soluzione doppia \displaystyle x_{1}=x_{2}=-1b (\displaystyle \Delta=0).

c) \displaystyle 5x^2+2x+2=0

Sostituiamo a=-5,  b=+2,  c=-2 nella formula \displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

\displaystyle x_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot (-5)\cdot (-2)}}{2\cdot (-5)}=\frac{-2\pm\sqrt{-36}}{-10}

L'equazione non ammette soluzioni in \mathbb{R}(\displaystyle \Delta<0).

EQUAZIONI DI SECONDO GRADO INCOMPLETE

se b=0 e a\neq 0 un'equazione di secondo grado ad una incognita x ha la forma \displaystyle ax^2+c=0 e si risolve isolando i termini.

se c=0 a\neq 0 un'equazione di secondo grado ad una incognita x ha la forma \displaystyle ax^2+bx=0 e si risolve raccogliendo l'incognita x.

ESERCIZIO

Risolvi le seguenti equazioni incomplete:

a) \displaystyle 3x^2+4x=0

b)\displaystyle x^2-4=0

c) \displaystyle x^2+2=0

SOLUZIONE

a) \displaystyle 3x^2+4x=0

Quando c=0 raccogliamo la x:

\displaystyle x(3x+4)=0, per la legge di annullamento del prodotto deve essere

\displaystyle x=0 o \displaystyle 3x+4=0.

Si risolvono le due equazioni di primo grado

\displaystyle x=0

\displaystyle 3x+4=0 \rightarrow \displaystyle x=-\frac{4}{3}.

L'equazione ammette due soluzioni distinte \displaystyle x=0  \vee  \displaystyle x=-\frac{4}{3}.

b)\displaystyle x^2-4=0

Quando b=0 risolviamo isolando l'incognita dal termine noto:

\displaystyle x^2=4  \rightarrow \displaystyle x^2=\pm\sqrt{4}=\pm2.

L'equazione ammette due soluzioni opposte.

c) \displaystyle x^2+2=0

In questo caso particolare, in cui b=0, l'equazione non ammette soluzioni.

Si può ragionare in due modi:

1) possiamo dire che la somma di un numero positivo +2 con un qualsiasi numero elevato al quadrato, essendo positivo, non può mai essere 0;

2) possiamo risolvere \displaystyle x^2=-2 \rightarrow x=\pm\sqrt{-2} e concludere dicendo che la radice di un numero negativo non esiste in \mathbb{R}.