Archivio Categoria: Analisi matematica

Integrale doppio in coordinate polari

Calcola il seguente integrale: \displaystyle \int\int _\Omega (x+y^2)dx dy

con \Omega=\lbrace (x, y)\in \mathbb{R}^2:1\leq x^2+y^2 \leq 4, x\geq0, y\geq 0\rbrace.

SOLUZIONE

Passiamo alle coordinate polari nel piano:

\left \{\begin{array}{ll} x=\rho\cos\vartheta\\ y=\rho\sin\vartheta\\ \end{array}\right.

con \rho=\sqrt{x^2+y^2}, \rho\geq 0 e 0\leq \vartheta <2\pi.

Nel nostro caso abbiamo:

\Omega'=\lbrace (\rho, \vartheta)\in \mathbb{R}^2:1\leq \rho \leq 2, 0\leq \vartheta \leq \frac{\pi}{2}\rbrace;

\displaystyle \int\int _{\Omega'} \left[\rho\cos\vartheta+(\rho\sin\vartheta)^2\right]\rho d\rho d\vartheta;

\displaystyle \int\int _{\Omega'} \left(\rho^2\cos\vartheta+\rho^3\sin^2\vartheta\right)d\rho d\vartheta;

\displaystyle \int_1^2 \rho^2d\rho\int_0^\frac{\pi}{2}\cos\vartheta d\vartheta+\int_1^2\rho^3d\rho\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^2\vartheta d\vartheta=\displaystyle \left[\frac{1}{3}\rho^3\right]_1^2\left[\phantom{\frac{\pi}{2}}\sin\vartheta\right]_0^{\frac{\pi}{2}}+\left[\frac{1}{4}\rho^4\right]_1^2\left[\frac{1}{2}\left(\vartheta-\sin\vartheta\cos\vartheta\right)\right]_0^\frac{\pi}{2}=\frac{7}{3}+\frac{15}{16}\pi.

Formulario sugli integrali

Un elenco di link dove poter scaricare formulari sugli integrali:

 

Formulario sui limiti notevoli

Un formulario sui limiti notevoli:

Formulario sulla definizione di limite

Un formulario utile per risolvere gli esercizi sulla verifica dei limiti:

Esempi dominio di funzione

160117-0847

Esercizio limite notevole con tangente

Calcola il seguente limite:

\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi}\frac{\tan(x)}{\pi-x}.

Utilizziamo il limite notevole \displaystyle \lim_{f(x)\rightarrow 0}\frac{\tan(f(x))}{f(x)}=1. Sappiamo che \tan(x)=-\tan(\pi - x) quindi,  \displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi}\frac{-\tan(\pi-x)}{\pi-x}=-1

Formulario sulle derivate

Di seguito metto a disposizione un formulario sul calcolo delle derivate:

 

Esercizi sulle derivate

Di seguito metto a disposizione una serie di link per esercitarvi:

 

Calcolo dei limiti: forma indeterminata infinito/infinito

Calcola il seguente limite:

1. \displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{x^4+3x^3+2x}{x^3-5x^2+3};

SOLUZIONE

Sostituiamo \displaystyle\infty alla funzione e otteniamo la forma indeterminata \displaystyle\frac{\infty}{\infty}. Per risolvere la forma indeterminata raccogliamo il monomio di grado maggiore sia al numeratore che al denominatore:

\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{x^4(1+3/x+2/x^3)}{x^3(1-5/x+3/x^3)}.

Osserviamo che per \displaystyle x\rightarrow \infty, 3/x, 2/x^3, 5/x, 3/x^3 tendono a 0 quindi,

\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{x^4}{x^3}=\lim_{x\rightarrow \infty} x=\infty.

Valore medio di una funzione

Calcola il valore medio della funzione f(x)=x^3-2x nell'intervallo [1,4].

SOLUZIONE

Per calcolare il valore medio della funzione applichiamo il teorema della media integrale: \displaystyle f(c)=\frac{ 1 } { b-a } \int_a^b f(x) dx.

Nel nostro caso \displaystyle f(c)=\frac{ 1 } { 4-1} \int_1^4 (x^3-2x)dx=\frac{ 1 } { 3}\left [\frac{ 1 } { 4}x^4-x^2 \right]_1^4=\frac{ 1 } { 3}\left [\left(\frac{ 1 } { 4}\cdot 4^4-4^2 \right)-\left(\frac{ 1 } { 4}-1\right )\right]=\frac{ 1 } { 3}\left(48+\frac{ 3 } { 4}\right)=\frac{ 1 } { 3}\cdot \frac{ 195 } { 4}=\frac{ 65 } { 4}.