Archivio Categoria: Derivate

Formulario sulle derivate

Di seguito metto a disposizione un formulario sul calcolo delle derivate:

 

Esercizi sulle derivate

Di seguito metto a disposizione una serie di link per esercitarvi:

 

Retta tangente ad una curva in un punto

Scrivi la retta tangente alla curva f(x)=x^3-5x^2-2 nel punto x_0=2.

SOLUZIONE

L'equazione generale della retta tangente ad una curva in un punto x_0 è y-f(x_0)=f'(x_0) \cdot (x-x_0).

Prima faccio la derivata f'(x)=3x^2-10x, poi calcolo f(x_0)=f(2)=-14 e f'(x_0)=f'(2)=-8.

A questo punto posso scrivere l'equazione della retta tangente: y+14=-8(x+14) \Rightarrow y=-8x-126

Continuità e derivabilità di una funzione

Studia la continuità e la derivabilità della seguente funzione

f(x)=\left \{\begin{array}{ll} \sin x&&\textrm{se}\; x<0\\ e^x&&\textrm{se}\; x\geq 0\\ \end{array}\right.

SOLUZIONE

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+}e^x=1 \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^-}\sin x=0

Nel punto x=0 il limite destro e il limite sinistro della f(x) non coincidono quindi, la funzione f(x) non è continua in x=0 e conseguentemente è ivi non derivabile.

Derivata di una funzione composta

Calcola la derivata della seguente funzione composta: y=\ln(x^2-3x).

SOLUZIONE
La funzione è del tipo y=\ln[f(x)] e la formula per calcolare la sua derivata è \displaystyle y'=\frac{f'(x)}{f(x)}.
La derivata della funzione assegnata è : \displaystyle y'=\frac{2x-3}{x^2-3x}.