Archivio Categoria: Integrali

Integrale doppio in coordinate polari

Calcola il seguente integrale: \displaystyle \int\int _\Omega (x+y^2)dx dy

con \Omega=\lbrace (x, y)\in \mathbb{R}^2:1\leq x^2+y^2 \leq 4, x\geq0, y\geq 0\rbrace.

SOLUZIONE

Passiamo alle coordinate polari nel piano:

\left \{\begin{array}{ll} x=\rho\cos\vartheta\\ y=\rho\sin\vartheta\\ \end{array}\right.

con \rho=\sqrt{x^2+y^2}, \rho\geq 0 e 0\leq \vartheta <2\pi.

Nel nostro caso abbiamo:

\Omega'=\lbrace (\rho, \vartheta)\in \mathbb{R}^2:1\leq \rho \leq 2, 0\leq \vartheta \leq \frac{\pi}{2}\rbrace;

\displaystyle \int\int _{\Omega'} \left[\rho\cos\vartheta+(\rho\sin\vartheta)^2\right]\rho d\rho d\vartheta;

\displaystyle \int\int _{\Omega'} \left(\rho^2\cos\vartheta+\rho^3\sin^2\vartheta\right)d\rho d\vartheta;

\displaystyle \int_1^2 \rho^2d\rho\int_0^\frac{\pi}{2}\cos\vartheta d\vartheta+\int_1^2\rho^3d\rho\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^2\vartheta d\vartheta=\displaystyle \left[\frac{1}{3}\rho^3\right]_1^2\left[\phantom{\frac{\pi}{2}}\sin\vartheta\right]_0^{\frac{\pi}{2}}+\left[\frac{1}{4}\rho^4\right]_1^2\left[\frac{1}{2}\left(\vartheta-\sin\vartheta\cos\vartheta\right)\right]_0^\frac{\pi}{2}=\frac{7}{3}+\frac{15}{16}\pi.

Formulario sugli integrali

Un elenco di link dove poter scaricare formulari sugli integrali:

 

Valore medio di una funzione

Calcola il valore medio della funzione f(x)=x^3-2x nell'intervallo [1,4].

SOLUZIONE

Per calcolare il valore medio della funzione applichiamo il teorema della media integrale: \displaystyle f(c)=\frac{ 1 } { b-a } \int_a^b f(x) dx.

Nel nostro caso \displaystyle f(c)=\frac{ 1 } { 4-1} \int_1^4 (x^3-2x)dx=\frac{ 1 } { 3}\left [\frac{ 1 } { 4}x^4-x^2 \right]_1^4=\frac{ 1 } { 3}\left [\left(\frac{ 1 } { 4}\cdot 4^4-4^2 \right)-\left(\frac{ 1 } { 4}-1\right )\right]=\frac{ 1 } { 3}\left(48+\frac{ 3 } { 4}\right)=\frac{ 1 } { 3}\cdot \frac{ 195 } { 4}=\frac{ 65 } { 4}.

Integrale del logaritmo naturale

Calcola il seguente integrale: \int lnxdx

Per risolvere l'integrale applichiamo la formula di integrazione per parti:  \displaystyle \int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx, ponendo f(x)=lnx e g'(x)=1.

\displaystyle \int lnx dx=xlnx-\int x \cdot \frac {1}{x}dx=xlnx-x+c=x(lnx-1)+c

Lunghezza di una curva

Data una curva di equazioni parametriche \Phi(t)=(\sin t, t, 1-\cos t), cont\in[0, 2\pi], si calcoli la sua lunghezza l(\Phi).

SOLUZIONE

Consideriamo le componenti x(t)=\sin t, y(t)=t, z(t)=1-\cos t e le rispettive derivate x'(t)=\cos t, y'(t)=1, z'(t)=\sin t.

La lunghezza della curva è data da \displaystyle l(\Phi)=\int_0^{2\pi}\sqrt{\cos^2 t+ 1 +\sin^2 t} dt=\int_0^{2\pi}\sqrt{2} dt=[\sqrt{2}t]_0^{2\pi}=2\sqrt{2}\pi.

 

Integrazione per sostituzione

Calcola i seguenti integrali con il metodo di integrazione per sostituzione:

1) \displaystyle \int\frac{e^{x}}{\sqrt{1-e^{2x}}}dx.

Poniamo t=e^x da cui dt=e^x dx.

Effettuiamo la sostituzione e calcoliamo l'integrale immediato \displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt=arcsin(t)+c .

Poi ritorniamo alla variabile x:  \displaystyle \int\frac{e^{x}}{\sqrt{1-e^{2x}}}dx=arcsin(e^x)+c .

2)\displaystyle \int\frac{\sqrt{tan x}}{cos^2x}dx.

Poniamo tan x=t da cui \frac{1}{cos^2x}dx=dt.

Effettuiamo la sosituzione e calcoliamo l'integrale immediato \displaystyle \int\sqrt{t}dt=\frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}+c.

Poi ritorniamo alla variabile x:  \displaystyle \int\frac{\sqrt{tan x}}{cos^2x}dx=\frac{2}{3}(tanx)^{\frac{3}{2}}+c.