Archivio Categoria: Serie

Serie geometrica

Calcola la somma della serie \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}3^{-n}.

SOLUZIONE

La serie geometrica \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}q^{n} converge a \displaystyle \frac{1}{1-q}, se \displaystyle |q|<1.

La serie in esame converge a \displaystyle \frac{1}{1-\frac{1}{3}}-1-\frac{1}{3}=\frac{3}{2}-1-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}.

Serie numerica: metodo del confronto

Utilizzando il criterio del confronto, stabilisci il carattere della seguente serie:

\displaystyle \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{3n+4}{n^3}.

La serie è a termini positivi e possiamo applicare il secondo criterio del confronto. Scegliamo come serie di confronto la serie convergente \displaystyle \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} e calcoliamo il limite del rapporto dei due termini generali \displaystyle \lim\limits_{n \to \infty}\frac{3n+4}{n^3}/\frac{1}{n^2}=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{3n^3+4n^2}{n^3}=3. Essendo il limite finito le due serie hanno lo stesso carattere quindi, la serie data risulta essere convergente.