Archivio Categoria: Studio di funzione

Esempi dominio di funzione

160117-0847

Studio di funzione

Data la funzione f(x)=e^{-(x+2)}\sqrt{x}, determina l'insieme di definizione, gli asintoti e i punti di massimo e di minimo.

SOLUZIONE

Insieme di definizione: D: [0, +\infty ).

Simmetrie: la funzione non presenta simmetrie.

Studio del segno della funzione: la funzione è positiva per tutti gli   x>0 e si annulla in x=0.

Asintoti: \displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow+\infty}e^{-(x+2)}\sqrt{x}=0 quindi, l'asse y=0 è un asintoto orizzontale. La funzoine non presenta asintoti verticali.

Calcolo della derivata: f'(x)=-e^{-(x+2)}\sqrt{x}+e^{-(x+2)}\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1-2x}{2\sqrt{x}e^{(x+2)}}.

Punti di non derivabilità: \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+}f'(x)=+\infty quindi, la funzione non è derivabile in x=0.

Studio del segno della derivata: il numeratore è positivo per x<\frac{1}{2}, il denominatore è sempre positivo quindi, la derivata è positiva per 0< x \leq \frac{1}{2} e negativa per x>\frac{1}{2};  pertanto x=\frac{1}{2} è un punto di massimo assoluto.

Inoltre, la funzone presenta un minimo assoluto in x=0.

funzione