Archivio Categoria: Circonferenza

Problema sulla circonferenza

Trova le equazioni delle circonferenze passanti per i punti A(1;-4) e B(3;0) e tangenti alla retta di equazione y=-2x-3.

SOLUZIONE

Imponiamo le condizioni di passaggio della circonferenza generica x^2+y^2+ax+by+c=0 per i punti A e B

\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{l}
1+16+a-4b+c=0\\
9+3a+c=0
\end{array}
\right.
\end{equation}
risolviamo il sistema
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{l}
b=2-\frac{1}{2}a\\
c=-3a-9
\end{array}
\right.
\end{equation}
Sostituiamo b e c nell'equazione della circonferenza: x^2+y^2+ax+(2-\frac{1}{2}a)y+-3a-9=0.
Poi intersechiamo la circonferenza con la retta
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{l}
x^2+y^2+ax+(2-\frac{1}{2}a)y+-3a-9=0\\
y=-2x-3
\end{array}
\right.
\end{equation}
risolviamo il sistema per sostituzione e abbiamo: 5x^2+(8+2a)x-6-\frac{3}{2}a=0.
Infine imponiamo le condizioni di tangenza (\Delta=0) e abbiamo:
(8+2a)^2-4\cdot 5 (-6-\frac{3}{2}a)=0, da cui a_1=-\frac{23}{2} e a_2=-4.
Sostituendo a_1=-\frac{23}{2} e a_2=-4 alla (3) abbiamo:

x^2+y^2-\frac{23}{2}x+\frac{31}{4}y+\frac{51}{2}=0
x^2+y^2+-4x+4y+3=0.