Archivio Categoria: Scuola media

Teorema di Talete


Un fascio di rette parallele determina su due trasversali due classi di segmenti direttamente proporzionali.

Schermata 2019-01-19 alle 14.36.29

Somma dei primi numeri naturali




Consideriamo n=12

\displaystyle N=\lbrace 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\rbrace

Ci si può accorgere facilmente che ci sono 6 coppie di numeri la cui somma dà come risultato 13:

12+1=13

11+2=13

10+3=13

9+4=13

8+5=13

7+6=13

quindi, per ottenere la somma dei primi 12 numeri naturali, moltiplichiamo 13\cdot 6=78.

Se n=12, (n+1)=13 e \frac{n}{2}=6, possiamo generalizzare e scrivere la formula

\displaystyle S_n=\frac{n\cdot(n+1)}{2}.

Per n=100

La somma dei primi 100 numeri naturali è:

\displaystyle S_{100}=\frac{100\cdot(100+1)}{2}=\frac{100\cdot(101)}{2}=5050.

Per n=1000

La somma dei primi 1000 numeri naturali è:

\displaystyle S_{1000}=\frac{1000\cdot(1000+1)}{2}=\frac{1000\cdot(1001)}{2}=500500.

Esercizio sui monomi: coefficiente, grado, monomio simile, monomio opposto


ESERCIZIO

Per ogni monomio scrivi il coefficiente, la parte letterale, il grado, un monomio simile e il monomio opposto:

Monomio Coefficiente Parte letterale Grado Monomio simile Monomio opposto
+6x^2y^3
-11xab^2
+9
+2x

SOLUZIONE

Monomio Coefficiente Parte letterale Grado Monomio simile Monomio opposto
+6x^2y^3 +6 x^2y^3 5 -12x^2y^3 -6x^2y^3
-11xab^2 -11 xab^2 4 +34xab^2 +11xab^2
+9 +9 0 +123 -9
+2x +2 x 1 -3x -2x

Espressioni letterali




ESERCIZIO

Calcola il valore delle seguenti espressioni letterali per a=-1, b=-2, c=+3, d=+2.

a) \displaystyle2a^2bc-3d

b) \displaystyle\frac{1}{2}ab-2c\left[d-4a\right]

c) \displaystyle\frac{2ab-2cd-4a}{ad^2}

SOLUZIONE

Sostituiamo al posto delle lettere i corrispondenti valori numerici: a=-1, b=-2, c=+3, d=+2.

a) \displaystyle2a^2bc-3d=2(-1)^2(-2)(+3)-3(+2)=2(+1)(-2)(+3)-6=-12-6=-18

b) \displaystyle\frac{1}{2}ab-2c\left[d-4a\right]=\frac{1}{2}(-1)(-2)-2(3)\left[2-4(-1)\right]=

+1-6\left[2+4\right]=+1-6(+6)=1-36=-35

c) \displaystyle\frac{2ab-2cd-4a}{ad^2}=\frac{2(-1)(-2)-2(+3)(+2)-4(-1)}{(-1)(+2)^2}=\frac{+4-12+4}{-4}=\frac{-4}{-4}=+1

Esercizi sulle frazioni generatrici





DAL NUMERO PERIODICO SEMPLICE ALLA FRAZIONE GENERATRICE

\displaystyle 2,\overline{3}=\frac{23-2}{9}=\frac{21}{9}=\frac{7}{3}

Al numeratore abbiamo la differenza tra il numero intero privato della virgola e della linea del periodo (23) e il numero intero formato dalle cifre che non fanno parte del periodo (2), mentre al denominatore un 9 visto che il periodo è formato solo da una cifra.

\displaystyle 2,\overline{35}=\frac{235-2}{99}=\frac{233}{99}

Al numeratore abbiamo la differenza tra il numero intero privato della virgola e della linea del periodo (235) e il numero intero formato dalle cifre che non fanno parte del periodo (2), mentre al denominatore abbiamo due 9 visto che il periodo è formato da due cifre.

\displaystyle 12,\overline{35}=\frac{1235-12}{99}=\frac{1223}{99}

Al numeratore abbiamo la differenza tra il numero intero privato della virgola e della linea del periodo (1235) e il numero intero formato dalle cifre che non fanno parte del periodo (12), mentre al denominatore abbiamo due 9 visto che il periodo è formato da due cifre.

DAL NUMERO PERIODICO MISTO ALLA FRAZIONE GENERATRICE

\displaystyle 2,1\overline{3}=\frac{213-21}{90}=\frac{192}{90}=\frac{32}{15}

Al  numeratore abbiamo la differenza tra il numero intero privato della virgola e della linea del periodo (213) e il numero intero formato dalle cifre che non fanno parte del periodo (21), mentre al denominatore un 9 visto che il periodo è formato solo da una cifra e uno 0 visto che l'antiperiodo è formato da una cifra.

\displaystyle 2,12\overline{31}=\frac{21231-212}{9900}=\frac{21019}{9900}

Al numeratore abbiamo la differenza tra il numero intero privato della virgola e della linea del periodo (21231) e il numero intero formato dalle cifre che non fanno parte del periodo (212), mentre al denominatore due 9 visto che il periodo è formato da due cifre e due 0 visto che l'antiperiodo è formato da due cifre.

\displaystyle 2,01\overline{3}=\frac{2013-201}{900}=\frac{1812}{900}=\frac{151}{75}

Al numeratore abbiamo la differenza tra il numero intero privato della virgola e della linea del periodo (2013) e il numero intero formato dalle cifre che non fanno parte del periodo (201), mentre al denominatore un 9 visto che il periodo è formato da una cifra e due 0 visto che l'antiperiodo è formato da due cifre.

Criteri di similitudine dei triangoli





Schermata 2018-12-10 alle 17.46.20

PRIMO CRITERIO DI SIMILITUDINE

Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti.

SECONDO CRITERIO DI SIMILITUDINE

Due triangoli sono simili se hanno due lati in proporzione e l'angolo fra essi compreso congruente.

TERZO CRITERIO DI SIMILITUDINE

Due triangoli sono simili se hanno i tre lati corrispondenti in proporzione.

Teoremi di Euclide


Schermata 2019-01-17 alle 17.30.25PRIMO TEOREMA DI EUCLIDE

I triangoli rettangoli ABC e ACH hanno gli angoli rispettivamente congruenti, pertanto essi sono simili per il primo criterio di similitudine. Essendo simili, hanno i lati omologhi in proporzione, quindi possiamo scrivere:

AB:AC=AC:AH

AC^2=AB \cdot AH

I triangoli rettangoli ABC e CBH hanno gli angoli rispettivamente congruenti, pertanto essi sono simili per il primo criterio di similitudine. Essendo simili, hanno i lati omologhi in proporzione, quindi possiamo scrivere:

AB:BC=BC:BH

BC^2=AB \cdot HB

Significato geometrico

Schermata 2019-01-17 alle 16.53.59

SECONDO TEOREMA DI EUCLIDE

I triangoli rettangoli ACH e CBH hanno gli angoli rispettivamente congruenti, pertanto essi sono simili per il primo criterio di similitudine. Essendo simili, hanno i lati omologhi in proporzione, quindi possiamo scrivere:

AH:CH=CH:BH

CH^2=AH \cdot BH

Significato geometrico

Schermata 2019-01-17 alle 17.19.22

Moto rettilineo uniforme





ESERCIZIO

Confronta le velocità dei due moti e scrivi le rispettive leggi orarie.

Schermata 2018-12-11 alle 09.47.57

SOLUZIONE

La formula per calcolare la velocità tra un istante iniziale e finale  è \displaystyle v=\frac{s_f-s_i}{t_f-t_i}.

Ricordiamo che la velocità \displaystyle v=\frac{s_f-s_i}{t_f-t_i} rappresenta il coefficiente angolare della retta s=vt (legge oraria del moto rettilineo uniforme con t_i=0 e s_i=0) e indica la sua inclinazione.

Calcoliamo la velocità v_1 e v_2, considerando arbitrariamente come istante iniziale t_i=0s e come istante finale t_f=20s:

Nel primo caso per t_i=0s s_i=0m e per t_f=20s s_f=20m, quindi sostituendo i valori nella formula della velocità, abbiamo \displaystyle v_1=\frac{(20-0)m}{(20-0)s}=1\frac{m}{s} e la legge oraria è data dall'equazione s=t,

Nel secondo  caso per t_i=0s s_i=0m e per t_f=20s  s_f=40m, quindi sostituendo i valori nella formula della velocità, abbiamo \displaystyle v_2=\frac{(40-0)m}{(20-0)s}=2\frac{m}{s} e la legge oraria è data dall'equazione s=2t.

Risulta che \displaystyle v_1 <v_2, infatti la pendenza della retta  s=t è minore della pendenza della retta  s=2t.

Prisma retto a base quadrangolare regolare

ESERCIZIO

Un prisma retto a base quadrangolare regolare è alto 100 cm e la diagonale del quadrato di base misura 12 cm. Si calcoli la superficie laterale, la superficie totale e il volume del prisma retto.

SOLUZIONE

Il lato del quadrato è  l=\frac{d}{\sqrt{2}}=\frac{12}{\sqrt{2}}=8,48 cm;

il perimetro del quadrato è P=4l=33,92 cm;

l'area del quadrato è A_b=l^2=71,91 cm^2;

la superficie laterale è S_l=Ph=3392 cm^2;

la superficie totale è S_t=S_l+2A_b=(3392+143,82) cm^2= 3535,82 cm^2= 3536 cm^2;

il volume è V=A_b h=7191 cm^3.

Lancio di due dadi regolari

ESERCIZIO

Nel lancio di due dadi, stabilire qual è la probabilità dei seguenti eventi:

  1. E=la somma ottenuta sia 11;
  2. E=la somma ottenuta sia 8;
  3. E=la somma ottenuta non sia maggiore di 4.

SOLUZIONE

Innanzitutto calcoliamo tutte le combinazioni possibili che si possono ottenere con due dadi: esse sono 6 x 6=36.

  1. la somma 11 la possiamo ottenere con 5-6 e 6-5, pertanto P(E)=2/36=1/18;
  2. la somma 8 la possiamo ottenere con 2-6, 6-2, 3-5, 5-3 e 4-4, pertanto P(E)=5/36;
  3. la somma non maggiore di 4, cioè minore o uguale di 4, la possiamo ottenere con 1-1, 1-2, 2-1, 2-2, 3-1 e 1-3, pertanto P(E)=6/36=1/6.