Archivio Categoria: Scuola superiore

Disposizioni semplici





ESERCIZIO
Quanti numeri di due cifre distinte si possono formare con gli elementi dell'insieme A=\lbrace 2, 3, 4, 7, 8 \rbrace?

SOLUZIONE
Si tratta di una disposizione (si tiene conto dell'ordine) semplice (non ci sono ripetizioni):

\displaystyle D_{n,k}=\frac{n!}{(n-k)!}.

Abbiamo 5 elementi (n=5) e numeri di 2 cifre  (k=2)

\displaystyle D_{5,2}=\frac{5!}{(5-2)!}=\frac{5!}{3!}=\frac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3 \cdot 2\cdot 1}=20.

Somma dei primi numeri naturali




Consideriamo n=12

\displaystyle N=\lbrace 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\rbrace

Ci si può accorgere facilmente che ci sono 6 coppie di numeri la cui somma dà come risultato 13:

12+1=13

11+2=13

10+3=13

9+4=13

8+5=13

7+6=13

quindi, per ottenere la somma dei primi 12 numeri naturali, moltiplichiamo 13\cdot 6=78.

Se n=12, (n+1)=13 e \frac{n}{2}=6, possiamo generalizzare e scrivere la formula

\displaystyle S_n=\frac{n\cdot(n+1)}{2}.

Per n=100

La somma dei primi 100 numeri naturali è:

\displaystyle S_{100}=\frac{100\cdot(100+1)}{2}=\frac{100\cdot(101)}{2}=5050.

Per n=1000

La somma dei primi 1000 numeri naturali è:

\displaystyle S_{1000}=\frac{1000\cdot(1000+1)}{2}=\frac{1000\cdot(1001)}{2}=500500.

Esercizio sui monomi: coefficiente, grado, monomio simile, monomio opposto


ESERCIZIO

Per ogni monomio scrivi il coefficiente, la parte letterale, il grado, un monomio simile e il monomio opposto:

Monomio Coefficiente Parte letterale Grado Monomio simile Monomio opposto
+6x^2y^3
-11xab^2
+9
+2x

SOLUZIONE

Monomio Coefficiente Parte letterale Grado Monomio simile Monomio opposto
+6x^2y^3 +6 x^2y^3 5 -12x^2y^3 -6x^2y^3
-11xab^2 -11 xab^2 4 +34xab^2 +11xab^2
+9 +9 0 +123 -9
+2x +2 x 1 -3x -2x

Espressioni letterali




ESERCIZIO

Calcola il valore delle seguenti espressioni letterali per a=-1, b=-2, c=+3, d=+2.

a) \displaystyle2a^2bc-3d

b) \displaystyle\frac{1}{2}ab-2c\left[d-4a\right]

c) \displaystyle\frac{2ab-2cd-4a}{ad^2}

SOLUZIONE

Sostituiamo al posto delle lettere i corrispondenti valori numerici: a=-1, b=-2, c=+3, d=+2.

a) \displaystyle2a^2bc-3d=2(-1)^2(-2)(+3)-3(+2)=2(+1)(-2)(+3)-6=-12-6=-18

b) \displaystyle\frac{1}{2}ab-2c\left[d-4a\right]=\frac{1}{2}(-1)(-2)-2(3)\left[2-4(-1)\right]=

+1-6\left[2+4\right]=+1-6(+6)=1-36=-35

c) \displaystyle\frac{2ab-2cd-4a}{ad^2}=\frac{2(-1)(-2)-2(+3)(+2)-4(-1)}{(-1)(+2)^2}=\frac{+4-12+4}{-4}=\frac{-4}{-4}=+1

Come risolvere limiti esponenziali da destra e da sinistra





COME RISOLVERE LIMITI ESPONENZIALI DA DESTRA E DA SINISTRA

ESERCIZIO

Calcola i seguenti limiti:

a) \displaystyle\lim_{x\to +3^-} e^\frac{2}{x^2-9}

b)  \displaystyle\lim_{x\to +3^+} e^\frac{2}{x^2-9}

c)  \displaystyle\lim_{x\to -3^-} e^\frac{2}{x^2-9}\!=

d)  \displaystyle\lim_{x\to -3^+} e^\frac{2}{x^2-9}\!

e)  \displaystyle\lim_{x\to +{\frac{1}{3}}^-} e^\frac{-2}{9x^2-1} \!

f)  \displaystyle\lim_{x\to +{\frac{1}{3}}^+} e^\frac{-2}{9x^2-1} \!

g)  \displaystyle\lim_{x\to -{\frac{1}{3}}^-} e^\frac{-2}{9x^2-1} \!

h)  \displaystyle\lim_{x\to -{\frac{1}{3}}^+} e^\frac{-2}{9x^2-1} \!

SOLUZIONE

a)  \displaystyle\lim_{x\to +3^-} e^\frac{2}{x^2-9}\!=e^\frac{2}{0^-}=e^{-\infty}=\frac{1}{e^{+\infty}}=\frac{1}{+\infty}=0

Sostituiamo al posto della x un numero minore di 3. La differenza tra un numero minore di 3 elevato al quadrato e 9 è un numero negativo prossimo a 0 (0^-).

b)  \displaystyle\lim_{x\to +3^+} e^\frac{2}{x^2-9}\!=e^\frac{2}{0^+}=e^{+\infty}=+\infty

Sostituiamo al posto della x un numero maggiore di 3. La differenza tra un numero maggiore di 3 elevato al quadrato e 9 è un numero positivo prossimo a 0 (0^+).

c)  \displaystyle\lim_{x\to -3^-} e^\frac{2}{x^2-9}\!=e^\frac{2}{0^+}=e^{+\infty}=+\infty

Sostituiamo al posto della x un numero minore di -3. La differenza tra un numero minore di -3 elevato al quadrato e  9 è un numero positivo prossimo a 0 (0^+).

d)  \displaystyle\lim_{x\to -3^+} e^\frac{2}{x^2-9}\!=e^\frac{2}{0^-}=e^{-\infty}=\frac{1}{e^{+\infty}}=\frac{1}{+\infty}=0

Sostituiamo al posto della x un numero maggiore di -3. La differenza tra un numero maggiore di -3 elevato al quadrato e 9 è un numero negativo prossimo a 0 (0^-).

e) \displaystyle\lim_{x\to +{\frac{1}{3}}^-} e^\frac{-2}{9x^2-1} \!=e^\frac{-2}{0^-}=e^{+\infty}=+\infty

Sostituiamo  al posto della x un numero minore di \frac{1}{3}. Poi, moltiplicando per 9 il quadrato di un numero minore di \frac{1}{3}, otteniamo un numero minore di 1. La differenza tra quest'ultimo e 1 è un numero negativo prossimo a 0 (0^-).

f)  \displaystyle\lim_{x\to +{\frac{1}{3}}^+} e^\frac{-2}{9x^2-1}=e^\frac{-2}{0^+}=e^{-\infty}=\frac{1}{e^{+\infty}}=\frac{1}{+\infty}=0

Sostituiamo al posto della x un numero maggiore di \frac{1}{3}. Poi, moltiplicando per 9 il quadrato di un numero maggiore di \frac{1}{3}, otteniamo un numero maggiore di 1. La differenza tra quest'ultimo e 1 è un numero positivo prossimo a 0 (0^+).

g)  \displaystyle\lim_{x\to -{\frac{1}{3}}^-} e^\frac{-2}{9x^2-1} \!=e^\frac{-2}{0^+}=e^{-\infty}=\frac{1}{e^{+\infty}}=\frac{1}{+\infty}=0

Sostituiamo al posto della x un numero minore di -\frac{1}{3}. Poi, moltiplicando per 9 il quadrato di un numero minore di -\frac{1}{3}, otteniamo un numero maggiore di 1. La differenza tra quest'ultimo e 1 è un numero positivo prossimo a 0 (0^+).

h) \displaystyle\lim_{x\to -{\frac{1}{3}}^+} e^\frac{-2}{9x^2-1} \!=e^\frac{-2}{0^-}=e^{+\infty}=+\infty

Sostituiamo al posto della x un numero maggiore di -\frac{1}{3}. Poi, moltiplicando per 9 il quadrato di un numero maggiore di -\frac{1}{3}, otteniamo un numero minore di 1. La differenza tra quest'ultimo e 1 è un numero negativo prossimo a 0 (0^-).

Come risolvere le equazioni di secondo grado





EQUAZIONI DI SECONDO GRADO COMPLETE

Un'equazione di secondo grado ad una incognita x completa ha la forma \displaystyle ax^2+bx+c=0 con a\neq 0.

Per il teorema fondamentale dell'algebra, le soluzioni (dette anche radici o zeri) delle equazioni di secondo grado in \mathbb{C} sono sempre due, se contate con la loro molteplicità. In \mathbb{R} invece possono ammettere due soluzioni, una soluzione doppia, oppure nessuna soluzione.

Le soluzioni in \mathbb{R}  si trovano con la formula \displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.

in cui con \displaystyle \Delta = b^2 - 4ac indichiamo il discriminante.

  • se \displaystyle \Delta>0 l'equazione ammette due soluzioni distinte;
  • se \displaystyle \Delta=0 l'equazione ammette una soluzione doppia (con molteplicità 2);
  • se \displaystyle \Delta<0 l'equazione non ammette soluzioni.

Se b è pari si può utilizzare la formula ridotta \displaystyle x_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{(\frac{b}{2})^2-ac}}{a}.

ESERCIZIO

Risolvi le seguenti equazioni complete:

a) \displaystyle 3x^2+4x+1=0

b)\displaystyle x^2+2x+1=0

c) \displaystyle 5x^2+2x+2=0

SOLUZIONE

a) \displaystyle 3x^2+4x+1=0

Sostituiamo a=+3,  b=+4,  c=+1 nella formula \displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

\displaystyle x_{1,2}=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot 3\cdot 1}}{2\cdot 3}=\frac{-4\pm\sqrt{4}}{6}

L'equazione ammette due soluzioni distinte \displaystyle x_{1}=-\frac{1}{3} \vee \displaystyle x_{2}=-1 (\displaystyle \Delta>0).

b) \displaystyle x^2+2x+1=0

Sostituiamo a=+1,  b=+2,  c=+1 nella formula \displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

\displaystyle x_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot 1}}{2\cdot 1}=\frac{-2\pm\sqrt{0}}{2}

L'equazione ammette una soluzione doppia \displaystyle x_{1}=x_{2}=-1b (\displaystyle \Delta=0).

c) \displaystyle 5x^2+2x+2=0

Sostituiamo a=-5,  b=+2,  c=-2 nella formula \displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

\displaystyle x_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot (-5)\cdot (-2)}}{2\cdot (-5)}=\frac{-2\pm\sqrt{-36}}{-10}

L'equazione non ammette soluzioni in \mathbb{R}(\displaystyle \Delta<0).

EQUAZIONI DI SECONDO GRADO INCOMPLETE

se b=0 e a\neq 0 un'equazione di secondo grado ad una incognita x ha la forma \displaystyle ax^2+c=0 e si risolve isolando i termini.

se c=0 a\neq 0 un'equazione di secondo grado ad una incognita x ha la forma \displaystyle ax^2+bx=0 e si risolve raccogliendo l'incognita x.

ESERCIZIO

Risolvi le seguenti equazioni incomplete:

a) \displaystyle 3x^2+4x=0

b)\displaystyle x^2-4=0

c) \displaystyle x^2+2=0

SOLUZIONE

a) \displaystyle 3x^2+4x=0

Quando c=0 raccogliamo la x:

\displaystyle x(3x+4)=0, per la legge di annullamento del prodotto deve essere

\displaystyle x=0 o \displaystyle 3x+4=0.

Si risolvono le due equazioni di primo grado

\displaystyle x=0

\displaystyle 3x+4=0 \rightarrow \displaystyle x=-\frac{4}{3}.

L'equazione ammette due soluzioni distinte \displaystyle x=0  \vee  \displaystyle x=-\frac{4}{3}.

b)\displaystyle x^2-4=0

Quando b=0 risolviamo isolando l'incognita dal termine noto:

\displaystyle x^2=4  \rightarrow \displaystyle x^2=\pm\sqrt{4}=\pm2.

L'equazione ammette due soluzioni opposte.

c) \displaystyle x^2+2=0

In questo caso particolare, in cui b=0, l'equazione non ammette soluzioni.

Si può ragionare in due modi:

1) possiamo dire che la somma di un numero positivo +2 con un qualsiasi numero elevato al quadrato, essendo positivo, non può mai essere 0;

2) possiamo risolvere \displaystyle x^2=-2 \rightarrow x=\pm\sqrt{-2} e concludere dicendo che la radice di un numero negativo non esiste in \mathbb{R}.

Come scomporre un polinomio con la regola di Ruffini





ESERCIZIO

Scomponi il polinomio P(x)=x^3-5x^2+7x-2 con la regola di Ruffini.

SOLUZIONE

Il polinomio deve essere ordinato dal grado maggiore al minore. In questo caso P(x) è già ordinato, possiamo, quindi, applicare la regola di Ruffini.

Dobbiamo trovare tra i divisori del termine noto (\pm 1 e \pm 2) quelli che sono soluzioni o radici del polinomio P(x).  Per far ciò, sostituiamo al posto della x i divisori \pm 1 e \pm 2 e cerchiamo quelli che rendono il polinomio P(x)=0.

P(x)=x^3-5x^2+7x-2

P(+1)=(+1)^3-5(+1)^2+7(+1)-2=1-5+7-2\neq 0

P(-1)=(-1)^3-5(-1)^2+7(-1)-2=-1-5-7-2\neq 0

P(+2)=(+2)^3-5(+2)^2+7(+2)-2=8-20+14-2=0 quindi +2 è radice di P(x)

P(-2)=(-2)^3-5(-2)^2+7(-2)-2=-8-20-14-2\neq 0

La radice ottenuta è r=+2 e il polinomio di primo grado, divisore di P(x), è (x-r)=(x-2).

Ora, una volta trovata la radice, possiamo applicare la regola di Ruffini per scomporre il polinomio P(x).

REGOLA DI RUFFINI

P(x)=x^3-5x^2+7x-2

Inseriamo in alto, all'interno delle due linee verticali, i coefficienti del polinomio +1, -5, +7 mentre all'esterno il termine noto -2. In basso a sinistra inseriamo invece la radice +2, cioè

%<br />
\begin{array}{c|ccc|c} &+1 & -5 & +7& -2\\+2& & & & \\ \hline & & & & \\\end{array}%<br />

Abbassiamo il coefficiente del grado maggiore +1  sotto la riga orizzontale e lo moltiplichiamo con la radice +2. Il risultato della moltiplicazione (+2) lo posizioniamo sopra la riga orizzontale.

%<br />
\begin{array}{c|ccc|c} &+1 & -5 & +7& -2\\+2& &+2 & & \\ \hline &+1 & & & \\\end{array}%<br />

Eseguiamo l'addizione tra -5 e +2 e posizioniamo il risultato -3 sotto la riga orizzontale. Moltiplichiamo -3 con la radice +2.  Il risultato della moltiplicazione (-6) lo posizioniamo sopra la riga orizzontale.

%<br />
\begin{array}{c|ccc|c} &+1 & -5 & +7& -2\\+2& &+2 &-6 & \\ \hline &+1 &-3& & \\\end{array}%<br />

Eseguiamo l'addizione tra +7 e -6 e posizioniamo il risultato +1 sotto la riga orizzontale. Moltiplichiamo +1 con la radice +2.  Il risultato della moltiplicazione (+2) lo posizioniamo sopra la riga orizzontale.

%<br />
\begin{array}{c|ccc|c} &+1 & -5 & +7& -2\\+2& &+2 &-6 &+2 \\ \hline &+1 &-3&+1 & \\\end{array}%<br />

Eseguiamo l'addizione tra -2 e +2 e posizioniamo il risultato 0 sotto la riga orizzontale.  Questo risultato è il resto della divisione tra P(x) e (x-2).

%<br />
\begin{array}{c|ccc|c} &+1 & -5 & +7& -2\\+2& &+2 &-6 &+2 \\ \hline &+1 &-3&+1 &0 \\\end{array}%<br />

Dall'ultima riga, all'interno delle linee verticali, otteniamo i coefficienti e il termine noto del polinomio, ridotto di un grado rispetto a quello iniziale. Esso rappresenta il quoziente della divisione di P(x) per (x-2) ed è uguale a x^2-3x+1.

A questo punto possiamo scrivere:

P(x)=x^3-5x^2+7x-2=(x^2-3x+1)(x-2).

Come calcolare la derivata del prodotto e del quoziente di due funzioni





ESERCIZIO

Calcola le seguenti derivate applicando la regola di derivazione del prodotto di funzioni:

a) \displaystyle y=x^2\cos x

b) \displaystyle y=3x^3\ln x

SOLUZIONE

Ricordiamo la formula per calcolare la derivata del prodotto di due funzioni

\displaystyle \mathrm{D}[{f(x) \cdot g(x)}] = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)

Calcoliamo f'(x) e g'(x) e li sostituiamo nella formula.

a) \displaystyle y'=2x\cdot \cos x + x^2\cdot (-\sin x)=2x\cos x - x^2\sin x

b) \displaystyle y'=9x^2\cdot \ln x +3x^3\cdot \frac{1}{x}=9x^2\ln x +3x^2

 ESERCIZIO

Calcola le seguenti derivate applicando la regola di derivazione del quoziente di funzioni:

a) \displaystyle y=\frac{x^2}{\cos x}

b) \displaystyle y=\frac{3x^3}{\ln x}

SOLUZIONE

Ricordiamo la formula per calcolare la derivata del quoziente di due funzioni

\mathrm{D}\! \displaystyle \left[ {f(x) \over g(x)} \right] = { f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x) \over (g(x))^2}

Calcoliamo f'(x) e g'(x) e li sostituiamo nella formula.

a) \displaystyle y'=\frac{2x\cdot \cos x - x^2\cdot (-\sin x)}{\cos^2 x}=\frac{2x\cos x + x^2\sin x}{\cos^2 x}

b) \displaystyle y'=\frac{9x^2\cdot \ln x -3x^3\cdot \frac{1}{x}}{\ln^2 x}=\frac{9x^2\ln x -3x^2}{\ln^2 x}

Formulario sui limiti notevoli





TAVOLA SUI LIMITI NOTEVOLI

\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \displaystyle\lim_{x\to \pm\infty} {\left (1+\frac{1}{x} \right )}^x\! = e
\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{\sin{ax}}{bx} = \frac{a}{b} \displaystyle\lim_{x\to \pm\infty} {\left (1+\frac{a}{x} \right )}^{bx}\! = e^{ab}
\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos{x}}{x} = 0 \displaystyle\lim_{x\to \pm\infty} {\left (\frac{x}{x+1} \right )}^x\! = \frac{1}{e}
\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2} \displaystyle\lim_{x\to 0} {\left ( 1 + ax \right ) }^{\frac{1}{x}}\! = e^a
\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{\tan x}{x} = 1 \displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{\log_a(1+x)}{x} = \log_a e = \frac{1}{\ln a}
\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\arcsin x}{x} = 1 \displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x)}{x}\! = 1
\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{\arctan x}{x} = 1 \displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{a^x-1}{x} = \ln a,\;\;a > 0
\displaystyle\lim_{x\to 1} \frac{(\arccos x)^2}{1-x} = 2  \displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1
 \displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{\sinh x}{x} = 1 \displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{(1+x)^a-1}{x} = a
 \displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{\tanh x}{x} = 1 \displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{(1+x)^a-1}{ax} = 1

 

\displaystyle\lim_{f(x)\to 0} \frac{\sin f(x)}{x} = 1 \displaystyle\lim_{f(x)\to \pm\infty} {\left (1+\frac{1}{f(x)} \right )}^{f(x)}\! = e
\displaystyle\lim_{f(x)\to 0} \frac{\sin{af(x)}}{bf(x)} = \frac{a}{b} \displaystyle\lim_{f(x)\to \pm\infty} {\left (1+\frac{a}{f(x)} \right )}^{bf(x)}\! = e^{ab}
\displaystyle\lim_{f(x)\to 0} \frac{1-\cos{f(x)}}{f(x)} = 0 \displaystyle\lim_{f(x)\to \pm\infty} {\left (\frac{f(x)}{f(x)+1} \right )}^{f(x)}\! = \frac{1}{e}
\displaystyle\lim_{f(x)\to 0} \frac{1-\cos(f(x))}{f(x)^2} = \frac{1}{2} \displaystyle\lim_{f(x)\to 0} {\left ( 1 + af(x) \right ) }^{\frac{1}{f(x)}}\! = e^a
\displaystyle\lim_{f(x)\to 0} \frac{\tan f(x)}{f(x)} = 1 \displaystyle\lim_{f(x)\to 0} \frac{\log_a(1+f(x))}{f(x)} = \log_a e = \frac{1}{\ln a}
\displaystyle\lim_{f(x)\to 0}\frac{\arcsin f(x)}{f(x)} = 1 \displaystyle\lim_{f(x)\to 0} \frac{\ln(1+f(x))}{f(x)}\! = 1
\displaystyle\lim_{f(x)\to 0} \frac{\arctan f(x)}{f(x)} = 1 \displaystyle\lim_{f(x)\to 0} \frac{a^{f(x)}-1}{f(x)} = \ln a,\;\;a > 0
\displaystyle\lim_{f(x)\to 1} \frac{(\arccos f(x))^2}{1-f(x)} = 2  \displaystyle\lim_{f(x)\to 0} \frac{e^{f(x)}-1}{f(x)} = 1
 \displaystyle\lim_{f(x)\to 0} \frac{\sinh f(x)}{f(x)} = 1 \displaystyle\lim_{f(x)\to 0} \frac{(1+f(x))^a-1}{f(x)} = a
 \displaystyle\lim_{f(x)\to 0} \frac{\tanh f(x)}{f(x)} = 1 \displaystyle\lim_{f(x)\to 0} \frac{(1+f(x))^a-1}{af(x)} = 1

 

Tavola degli integrali indefiniti





TAVOLA DEGLI INTEGRALI

Integrai fondamentali Integrali notevoli
\displaystyle \int k \,\text{d}x = k\,x +c
\displaystyle \int x^n \,\text{d}x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} +c \displaystyle \int f(x)^n \cdot f'(x)\,\text{d}x = \frac{f(x)^{n + 1}}{n + 1} +c
\displaystyle \int \frac{1}{ x} \,\text{d}x = \ln |x| +c \displaystyle \int \frac{1}{ f(x)}\cdot f'(x) \,\text{d}x = \ln |f(x)| +c
\displaystyle \int a^x \,\text{d}x =\frac{a^x }{\ln a}+c \displaystyle \int a^{f(x)}\cdot f'(x)\,\text{d}x =\frac{a^{f(x)}}{\ln a}+c
\displaystyle \int e^x \,\text{d}x =e^x +c \displaystyle \int e^{f(x)}\cdot f'(x)\,\text{d}x =e^{f(x)} +c
\displaystyle \int \cos x \,\text{d}x = \sin x +c \displaystyle \int \cos f(x)\cdot f'(x) \,\text{d}x = \sin f(x) +c
\displaystyle \int \sin x \,\text{d}x = - \cos x +c \displaystyle \int \sin f(x)\cdot f'(x)\,\text{d}x = - \cos f(x) +c
\displaystyle \int \frac{1}{\cos^2 x} \,\text{d}x = \tan x +c \displaystyle \int \frac{1}{\cos^2 f(x)}\cdot f'(x) \,\text{d}x = \tan f(x) +c
\displaystyle \int \frac{1}{\sin^2 x} \,\text{d}x =-\cot x +c \displaystyle \int \frac{1}{\sin^2 f(x)}\cdot f'(x) \,\text{d}x = -\cot f(x) +c
\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\text{d}x\,=\arcsin{x} +c \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1-f(x)^2}}\cdot f'(x)\,\text{d}x=\arcsin{f(x)} +c
\displaystyle \int \frac{1}{1+x^2}\,\text{d}x\,=\arctan{x} +c \displaystyle \int \frac{1}{1+f(x)^2}\cdot f'(x)\,\text{d}x\,=\arctan{x} +c