Archivio Categoria: Università

Disposizioni semplici





ESERCIZIO
Quanti numeri di due cifre distinte si possono formare con gli elementi dell'insieme A=\lbrace 2, 3, 4, 7, 8 \rbrace?

SOLUZIONE
Si tratta di una disposizione (si tiene conto dell'ordine) semplice (non ci sono ripetizioni):

\displaystyle D_{n,k}=\frac{n!}{(n-k)!}.

Abbiamo 5 elementi (n=5) e numeri di 2 cifre  (k=2)

\displaystyle D_{5,2}=\frac{5!}{(5-2)!}=\frac{5!}{3!}=\frac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3 \cdot 2\cdot 1}=20.

Come risolvere limiti esponenziali da destra e da sinistra





COME RISOLVERE LIMITI ESPONENZIALI DA DESTRA E DA SINISTRA

ESERCIZIO

Calcola i seguenti limiti:

a) \displaystyle\lim_{x\to +3^-} e^\frac{2}{x^2-9}

b)  \displaystyle\lim_{x\to +3^+} e^\frac{2}{x^2-9}

c)  \displaystyle\lim_{x\to -3^-} e^\frac{2}{x^2-9}\!=

d)  \displaystyle\lim_{x\to -3^+} e^\frac{2}{x^2-9}\!

e)  \displaystyle\lim_{x\to +{\frac{1}{3}}^-} e^\frac{-2}{9x^2-1} \!

f)  \displaystyle\lim_{x\to +{\frac{1}{3}}^+} e^\frac{-2}{9x^2-1} \!

g)  \displaystyle\lim_{x\to -{\frac{1}{3}}^-} e^\frac{-2}{9x^2-1} \!

h)  \displaystyle\lim_{x\to -{\frac{1}{3}}^+} e^\frac{-2}{9x^2-1} \!

SOLUZIONE

a)  \displaystyle\lim_{x\to +3^-} e^\frac{2}{x^2-9}\!=e^\frac{2}{0^-}=e^{-\infty}=\frac{1}{e^{+\infty}}=\frac{1}{+\infty}=0

Sostituiamo al posto della x un numero minore di 3. La differenza tra un numero minore di 3 elevato al quadrato e 9 è un numero negativo prossimo a 0 (0^-).

b)  \displaystyle\lim_{x\to +3^+} e^\frac{2}{x^2-9}\!=e^\frac{2}{0^+}=e^{+\infty}=+\infty

Sostituiamo al posto della x un numero maggiore di 3. La differenza tra un numero maggiore di 3 elevato al quadrato e 9 è un numero positivo prossimo a 0 (0^+).

c)  \displaystyle\lim_{x\to -3^-} e^\frac{2}{x^2-9}\!=e^\frac{2}{0^+}=e^{+\infty}=+\infty

Sostituiamo al posto della x un numero minore di -3. La differenza tra un numero minore di -3 elevato al quadrato e  9 è un numero positivo prossimo a 0 (0^+).

d)  \displaystyle\lim_{x\to -3^+} e^\frac{2}{x^2-9}\!=e^\frac{2}{0^-}=e^{-\infty}=\frac{1}{e^{+\infty}}=\frac{1}{+\infty}=0

Sostituiamo al posto della x un numero maggiore di -3. La differenza tra un numero maggiore di -3 elevato al quadrato e 9 è un numero negativo prossimo a 0 (0^-).

e) \displaystyle\lim_{x\to +{\frac{1}{3}}^-} e^\frac{-2}{9x^2-1} \!=e^\frac{-2}{0^-}=e^{+\infty}=+\infty

Sostituiamo  al posto della x un numero minore di \frac{1}{3}. Poi, moltiplicando per 9 il quadrato di un numero minore di \frac{1}{3}, otteniamo un numero minore di 1. La differenza tra quest'ultimo e 1 è un numero negativo prossimo a 0 (0^-).

f)  \displaystyle\lim_{x\to +{\frac{1}{3}}^+} e^\frac{-2}{9x^2-1}=e^\frac{-2}{0^+}=e^{-\infty}=\frac{1}{e^{+\infty}}=\frac{1}{+\infty}=0

Sostituiamo al posto della x un numero maggiore di \frac{1}{3}. Poi, moltiplicando per 9 il quadrato di un numero maggiore di \frac{1}{3}, otteniamo un numero maggiore di 1. La differenza tra quest'ultimo e 1 è un numero positivo prossimo a 0 (0^+).

g)  \displaystyle\lim_{x\to -{\frac{1}{3}}^-} e^\frac{-2}{9x^2-1} \!=e^\frac{-2}{0^+}=e^{-\infty}=\frac{1}{e^{+\infty}}=\frac{1}{+\infty}=0

Sostituiamo al posto della x un numero minore di -\frac{1}{3}. Poi, moltiplicando per 9 il quadrato di un numero minore di -\frac{1}{3}, otteniamo un numero maggiore di 1. La differenza tra quest'ultimo e 1 è un numero positivo prossimo a 0 (0^+).

h) \displaystyle\lim_{x\to -{\frac{1}{3}}^+} e^\frac{-2}{9x^2-1} \!=e^\frac{-2}{0^-}=e^{+\infty}=+\infty

Sostituiamo al posto della x un numero maggiore di -\frac{1}{3}. Poi, moltiplicando per 9 il quadrato di un numero maggiore di -\frac{1}{3}, otteniamo un numero minore di 1. La differenza tra quest'ultimo e 1 è un numero negativo prossimo a 0 (0^-).

Formulario sui limiti notevoli





TAVOLA SUI LIMITI NOTEVOLI

\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \displaystyle\lim_{x\to \pm\infty} {\left (1+\frac{1}{x} \right )}^x\! = e
\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{\sin{ax}}{bx} = \frac{a}{b} \displaystyle\lim_{x\to \pm\infty} {\left (1+\frac{a}{x} \right )}^{bx}\! = e^{ab}
\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos{x}}{x} = 0 \displaystyle\lim_{x\to \pm\infty} {\left (\frac{x}{x+1} \right )}^x\! = \frac{1}{e}
\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2} \displaystyle\lim_{x\to 0} {\left ( 1 + ax \right ) }^{\frac{1}{x}}\! = e^a
\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{\tan x}{x} = 1 \displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{\log_a(1+x)}{x} = \log_a e = \frac{1}{\ln a}
\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\arcsin x}{x} = 1 \displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x)}{x}\! = 1
\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{\arctan x}{x} = 1 \displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{a^x-1}{x} = \ln a,\;\;a > 0
\displaystyle\lim_{x\to 1} \frac{(\arccos x)^2}{1-x} = 2  \displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1
 \displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{\sinh x}{x} = 1 \displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{(1+x)^a-1}{x} = a
 \displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{\tanh x}{x} = 1 \displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{(1+x)^a-1}{ax} = 1

 

\displaystyle\lim_{f(x)\to 0} \frac{\sin f(x)}{x} = 1 \displaystyle\lim_{f(x)\to \pm\infty} {\left (1+\frac{1}{f(x)} \right )}^{f(x)}\! = e
\displaystyle\lim_{f(x)\to 0} \frac{\sin{af(x)}}{bf(x)} = \frac{a}{b} \displaystyle\lim_{f(x)\to \pm\infty} {\left (1+\frac{a}{f(x)} \right )}^{bf(x)}\! = e^{ab}
\displaystyle\lim_{f(x)\to 0} \frac{1-\cos{f(x)}}{f(x)} = 0 \displaystyle\lim_{f(x)\to \pm\infty} {\left (\frac{f(x)}{f(x)+1} \right )}^{f(x)}\! = \frac{1}{e}
\displaystyle\lim_{f(x)\to 0} \frac{1-\cos(f(x))}{f(x)^2} = \frac{1}{2} \displaystyle\lim_{f(x)\to 0} {\left ( 1 + af(x) \right ) }^{\frac{1}{f(x)}}\! = e^a
\displaystyle\lim_{f(x)\to 0} \frac{\tan f(x)}{f(x)} = 1 \displaystyle\lim_{f(x)\to 0} \frac{\log_a(1+f(x))}{f(x)} = \log_a e = \frac{1}{\ln a}
\displaystyle\lim_{f(x)\to 0}\frac{\arcsin f(x)}{f(x)} = 1 \displaystyle\lim_{f(x)\to 0} \frac{\ln(1+f(x))}{f(x)}\! = 1
\displaystyle\lim_{f(x)\to 0} \frac{\arctan f(x)}{f(x)} = 1 \displaystyle\lim_{f(x)\to 0} \frac{a^{f(x)}-1}{f(x)} = \ln a,\;\;a > 0
\displaystyle\lim_{f(x)\to 1} \frac{(\arccos f(x))^2}{1-f(x)} = 2  \displaystyle\lim_{f(x)\to 0} \frac{e^{f(x)}-1}{f(x)} = 1
 \displaystyle\lim_{f(x)\to 0} \frac{\sinh f(x)}{f(x)} = 1 \displaystyle\lim_{f(x)\to 0} \frac{(1+f(x))^a-1}{f(x)} = a
 \displaystyle\lim_{f(x)\to 0} \frac{\tanh f(x)}{f(x)} = 1 \displaystyle\lim_{f(x)\to 0} \frac{(1+f(x))^a-1}{af(x)} = 1

 

Tavola degli integrali indefiniti





TAVOLA DEGLI INTEGRALI

Integrai fondamentali Integrali notevoli
\displaystyle \int k \,\text{d}x = k\,x +c
\displaystyle \int x^n \,\text{d}x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} +c \displaystyle \int f(x)^n \cdot f'(x)\,\text{d}x = \frac{f(x)^{n + 1}}{n + 1} +c
\displaystyle \int \frac{1}{ x} \,\text{d}x = \ln |x| +c \displaystyle \int \frac{1}{ f(x)}\cdot f'(x) \,\text{d}x = \ln |f(x)| +c
\displaystyle \int a^x \,\text{d}x =\frac{a^x }{\ln a}+c \displaystyle \int a^{f(x)}\cdot f'(x)\,\text{d}x =\frac{a^{f(x)}}{\ln a}+c
\displaystyle \int e^x \,\text{d}x =e^x +c \displaystyle \int e^{f(x)}\cdot f'(x)\,\text{d}x =e^{f(x)} +c
\displaystyle \int \cos x \,\text{d}x = \sin x +c \displaystyle \int \cos f(x)\cdot f'(x) \,\text{d}x = \sin f(x) +c
\displaystyle \int \sin x \,\text{d}x = - \cos x +c \displaystyle \int \sin f(x)\cdot f'(x)\,\text{d}x = - \cos f(x) +c
\displaystyle \int \frac{1}{\cos^2 x} \,\text{d}x = \tan x +c \displaystyle \int \frac{1}{\cos^2 f(x)}\cdot f'(x) \,\text{d}x = \tan f(x) +c
\displaystyle \int \frac{1}{\sin^2 x} \,\text{d}x =-\cot x +c \displaystyle \int \frac{1}{\sin^2 f(x)}\cdot f'(x) \,\text{d}x = -\cot f(x) +c
\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\text{d}x\,=\arcsin{x} +c \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1-f(x)^2}}\cdot f'(x)\,\text{d}x=\arcsin{f(x)} +c
\displaystyle \int \frac{1}{1+x^2}\,\text{d}x\,=\arctan{x} +c \displaystyle \int \frac{1}{1+f(x)^2}\cdot f'(x)\,\text{d}x\,=\arctan{x} +c

 

Derivata di una funzione composta - regola della catena





ESERCIZIO

Calcola la derivata della funzione composta \displaystyle y =[\ln{(x^4-2)}]^3.

SOLUZIONE

La funzione è del tipo \displaystyle f(g(h(x))) e la sua derivata è \displaystyle \mathrm{D}(f(g(h(x))))=f'(g(h(x)))\cdot g'(h(x))\cdot h'(x)

La derivata della funzione assegnata è

\displaystyle y'=3[\ln{(x^4-2)}]^2\cdot\frac{1}{x^4-2}\cdot4x^3

\displaystyle y'=\frac{12x^3\ln^2{(x^4-2)}}{x^4-2}.

Formulario sulle derivate





Regole di derivazione

Siano f(x) e g(x) funzioni reali di variabile reale x derivabili, e sia \mathrm{D} l'operazione di derivazione rispetto a x:

\mathrm{D}[f(x)]=f'(x) \qquad \mathrm{D}[g(x)]=g'(x)

\displaystyle D[af(x) + bg(x) ]=a\cdot f'(x) + b\cdot g'(x) Derivata della somma
\displaystyle \mathrm{D}[{f(x) \cdot g(x)}] = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) Derivata del prodotto
\mathrm{D}\! \displaystyle \left[ {f(x) \over g(x)} \right] = { f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x) \over (g(x))^2} Derivata del quoziente
\mathrm{D}\!\displaystyle \left[ {1 \over f(x)} \right] = -{f'(x) \over (f(x))^2} Derivata della funzione reciproca
\mathrm{D}\displaystyle \left[ f \left(g(x) \right)\right] = f' \left(g(x) \right) \cdot g'(x) Derivata delle funzioni composte
\mathrm{D}\displaystyle\left[ f(x)^{g(x)} \right] = f(x)^{g(x)}\left[ g'(x)\ln(f(x)) + \frac{g(x)\cdot f'(x)}{f(x)} \right] Derivata della potenza

Derivate di funzioni elementari

Funzione Derivata
\displaystyle y = k \displaystyle y' = 0
\displaystyle y = x^n \displaystyle y'= n\,x^{(n-1)}
\displaystyle y = x \displaystyle y' = 1
\displaystyle y = \frac{1}{x}=x^{-1} \displaystyle y' = -\frac{1}{x^2}
\displaystyle y = \sqrt{x}=x^\frac{1}{2} \displaystyle y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}
\displaystyle y = \sqrt[n]{x^m}=x^ \frac{m}{n} \displaystyle y'= \frac{m}{n}\cdot x^{\frac{m}{n}-1}
\displaystyle y=|x| \displaystyle y' = \frac{|x|}{x}
\displaystyle y=\log_a{x} \displaystyle y'=\frac{1}{x}\log_a{e}=\frac{1}{x}\frac{1}{\ln{a}}
\displaystyle y=\ln{x} \displaystyle y'=\frac{1}{x}
\displaystyle y=a^{x} \displaystyle y'=a^{x}\ln{a}
\displaystyle y=e^{x} \displaystyle y'=e^{x}
\displaystyle y=\sin{x} \displaystyle y'=\cos{x}
\displaystyle y=\cos{x} \displaystyle y'=-\sin{x}
\displaystyle y=\tan{x} \displaystyle y'=\frac{1}{\cos^2{x}}=1+\tan^2{x}
\displaystyle y=\cot{x} \displaystyle y'=-\frac{1}{\sin^2{x}}=-(1+cotan^2{x})
\displaystyle y=\arcsin{x} \displaystyle y'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
\displaystyle y=\arccos{x} \displaystyle y'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
\displaystyle y=\arctan{x} \displaystyle y'=\frac{1}{1+x^2}
\displaystyle y=arccot x \displaystyle y'=-\frac{1}{1+x^2}
\displaystyle y=\sinh x \displaystyle y'=\cosh x
\displaystyle y=\cosh x \displaystyle y'=\sinh x
\displaystyle y=\tanh x \displaystyle y'=1 - \tanh^2 x

 Derivate di funzioni composte

Funzione Derivata
\displaystyle y =f(x)^n \displaystyle y'= n\,f(x)^{(n-1)} \cdot f'(x)
\displaystyle y=|f(x)| \displaystyle y' = \frac{|f(x)|}{f(x)}\cdot f'(x)
\displaystyle y=\ln{|f(x)|} \displaystyle y'=\frac{1}{f(x)}\cdot f'(x)
\displaystyle y=a^{f(x)} \displaystyle y'=a^{f(x)}\ln{a}\cdot f'(x)
\displaystyle y=e^{f(x)} \displaystyle y'=e^{f(x)}\cdot f'(x)
\displaystyle y=\sin{f(x)} \displaystyle y'=\cos{f(x)}\cdot f'(x)
\displaystyle y=\cos{f(x)} \displaystyle y'=-\sin{f(x)}\cdot f'(x)
\displaystyle y=\tan{f(x)} \displaystyle y'=\frac{1}{\cos^2{f(x)}}\cdot f'(x)
\displaystyle y=\cot{f(x)} \displaystyle y'=-\frac{1}{\sin^2{f(x)}}\cdot f'(x)
\displaystyle y=\arcsin{f(x)} \displaystyle y'=\frac{1}{\sqrt{1-f(x)^2}}\cdot f'(x)
\displaystyle y=\arccos{f(x)} \displaystyle y'=-\frac{1}{\sqrt{1-f(x)^2}}
\displaystyle y=\arctan{f(x)}  \displaystyle y'=\frac{1}{1+f(x)^2}\cdot f'(x)
\displaystyle y=arccot f(x)  \displaystyle y'=-\frac{1}{1+f(x)^2}\cdot f'(x)

Integrale doppio in coordinate polari





ESERCIZIO

Calcola il seguente integrale: \displaystyle \int\int _\Omega (x+y^2)dx dy

con \Omega=\lbrace (x, y)\in \mathbb{R}^2:1\leq x^2+y^2 \leq 4, x\geq0, y\geq 0\rbrace.

SOLUZIONE

Passiamo alle coordinate polari nel piano:

\left \{\begin{array}{ll} x=\rho\cos\vartheta\\ y=\rho\sin\vartheta\\ \end{array}\right.

con \rho=\sqrt{x^2+y^2}, \rho\geq 0 e 0\leq \vartheta <2\pi.

Nel nostro caso abbiamo:

\Omega'=\lbrace (\rho, \vartheta)\in \mathbb{R}^2:1\leq \rho \leq 2, 0\leq \vartheta \leq \frac{\pi}{2}\rbrace;

\displaystyle \int\int _{\Omega'} \left[\rho\cos\vartheta+(\rho\sin\vartheta)^2\right]\rho d\rho d\vartheta;

\displaystyle \int\int _{\Omega'} \left(\rho^2\cos\vartheta+\rho^3\sin^2\vartheta\right)d\rho d\vartheta;

\displaystyle \int_1^2 \rho^2d\rho\int_0^\frac{\pi}{2}\cos\vartheta d\vartheta+\int_1^2\rho^3d\rho\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^2\vartheta d\vartheta=\displaystyle \left[\frac{1}{3}\rho^3\right]_1^2\left[\phantom{\frac{\pi}{2}}\sin\vartheta\right]_0^{\frac{\pi}{2}}+\left[\frac{1}{4}\rho^4\right]_1^2\left[\frac{1}{2}\left(\vartheta-\sin\vartheta\cos\vartheta\right)\right]_0^\frac{\pi}{2}=\frac{7}{3}+\frac{15}{16}\pi.

Classificazione dei punti di discontinuità





ESERCIZIO

Classifica le discontinuità della funzione \displaystyle f(x)=\frac {x^3-2x}{x-5}.

SOLUZIONE

Le condizioni di esistenza sono x-5\neq 0x\neq 5.

I limiti destro e sinistro in 5 valgono \displaystyle \lim_{x\rightarrow 5^+}\frac {x^3-2x}{x-5}=\frac {115}{0^+}=+\infty\displaystyle \lim_{x\rightarrow 5^-}\frac {x^3-2x}{x-5}=\frac {115}{0^-}=-\infty.

La funzione quindi, presenta un punto di discontinuità di seconda specie in 5.

Formulario sulla definizione di limite

Limite finito l per x che tende a un numero finito x_0

\displaystyle\lim_{x \to x_0}f(x) = l

se \displaystyle\forall \varepsilon > 0\;\; \exists \delta>0\; :\; 0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-l|<\varepsilon

Limite +\infty per x che tende a un numero finito x_0

\displaystyle\lim_{x \to x_0}f(x) = +\infty

se \displaystyle \forall N > 0\;\; \exists \delta>0\; :\; 0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x)>N

Limite -\infty per x che tende a un numero finito x_0

\displaystyle\lim_{x \to x_0}f(x) = -\infty

se \displaystyle \forall N > 0\;\; \exists \delta>0\; :\; 0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x)<-N

Limite finito l per x che tende a +\infty

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x) = l

se \displaystyle \forall \varepsilon > 0\;\; \exists S>0\; :\; x>S \Rightarrow |f(x)-l| < \varepsilon

Limite finito l per x che tende a -\infty

\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x) = l

se \displaystyle \forall \varepsilon > 0\;\; \exists S>0\; :\; x<-S \Rightarrow |f(x)-l| < \varepsilon

Limite +\infty  per x che tende a +\infty

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x) = +\infty

se \displaystyle \forall N > 0\;\; \exists S>0\; :\; x>S \Rightarrow f(x)>N

Limite +\infty  per x che tende a -\infty

\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x) = +\infty

se \displaystyle \forall N > 0\;\; \exists S>0\; :\; x<-S \Rightarrow f(x)>N

Limite -\infty  per x che tende a +\infty

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x) = -\infty

se \displaystyle \forall N > 0\;\; \exists S>0\; :\; x>S \Rightarrow f(x)<-N

Limite -\infty  per x che tende a -\infty

\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x) = -\infty

se \displaystyle \forall N > 0\;\; \exists S>0\; :\; x<-S \Rightarrow f(x)<-N

Esercizio limite notevole con tangente

SOLUZIONE

Calcola il seguente limite:

\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi}\frac{\tan(x)}{\pi-x}.

SOLUZIONE

Utilizziamo il limite notevole \displaystyle \lim_{f(x)\rightarrow 0}\frac{\tan(f(x))}{f(x)}=1. Sappiamo che \tan(x)=-\tan(\pi - x) quindi,  \displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi}\frac{-\tan(\pi-x)}{\pi-x}=-1