Calcolare la derivata delle seguenti funzioni composte:

1) $\displaystyle y=\sin(x^3+5x-3)$

2) $\displaystyle y=2^{x^2-3x+1}$

3) $\displaystyle y=(x^2+ln x)^2$

4) $\displaystyle y=(\ln x)^5$

5) $\displaystyle y=\sqrt[7]{ln x}$

SOLUZIONE

1) $\displaystyle y’=(3x^2+5)\cdot\cos(x^3+5x-3) $

2) $\displaystyle y’=2^{x^2-3x+1}\ln 2 (2x-3)=2^{x^2-3x+1}(2x-3)\ln 2$

3) $\displaystyle y’=2(x^2+ln x)(2x+\frac{1}{x})$

4) $\displaystyle y’= \frac{5(\ln x)^4}{x}$

5) La funzione irrazionale la possiamo riscrivere come potenza: $\displaystyle y=(ln x)^\frac{1}{7}$, quindi la sua derivata è:

$\displaystyle y’=\frac{1}{7x}(ln x)^{\frac{1}{7}-1}=\frac{1}{7x}(ln x)^{-\frac{6}{7}}=\frac{1}{7x(ln x)^{\frac{6}{7}}}=\frac{1}{7x\sqrt[7]{(\ln x)^6}}$