INTEGRALI

Primitive delle funzioni più comuni

$\displaystyle \int \,k \mathrm {d} x = kx + c$

$\displaystyle \int x^\alpha \, \mathrm {d} x = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + c$

$\displaystyle \int \frac{1}{x}\,\mathrm {d} x = \ln{\left|x\right|} + c$

$\displaystyle \int a^x\,\mathrm {d} x = \frac{a^x}{\ln{a}} + c$

$\displaystyle \int e^x\,\mathrm {d} x = e^x + c$

$\displaystyle \int \frac{1}{1+x^2} \, \mathrm {d} x = \arctan{x} + c$

$\displaystyle \int {1 \over \sqrt{1-x^2}} \, \mathrm {d} x = \arcsin {x} + c$

$\displaystyle \int {-1 \over \sqrt{1-x^2}} \, \mathrm {d} x = \arccos {x} + c$

$\displaystyle \int \sin{x}\, \mathrm {d} x = -\cos{x} + c$

$\displaystyle \int \cos{x}\, \mathrm {d} x = \sin{x} + c$

$\displaystyle \int \sinh x \, \mathrm {d} x = \cosh x + c$

$\displaystyle \int \cosh x \, \mathrm {d} x = \sinh x + c$

Formule di integrazione delle funzioni composte

$\displaystyle \int f'(x)[f(x)]^\alpha \, \mathrm {d} x = \frac{[f(x)]^{\alpha+1}}{\alpha +1} + c$

$\displaystyle \int \frac{f'(x)}{f(x)}\,\mathrm {d} x = \ln{\left|f(x)\right|} + c$

$\displaystyle \int f'(x)a^{f(x)}\,\mathrm {d} x = \frac{a^{f(x)}}{\ln{a}} + c$

$\displaystyle \int f'(x)e^{f(x)}\,\mathrm {d} x = e^{f(x)} + c$

$\displaystyle \int \frac{f'(x)}{1+[f(x)]^2} \, \mathrm {d} x = \arctan{f(x)} + c$

$\displaystyle \int {f'(x) \over \sqrt{1-[f(x)]^2}} \, \mathrm {d} x = \arcsin {f(x)} + c$

$\displaystyle \int {-f'(x )\over \sqrt{1-[f(x)]^2}} \, \mathrm {d} x = \arccos {f(x)} + c$

$\displaystyle \int f'(x)\sin{f(x)}\, \mathrm {d} x = -\cos{f(x)} + c$

$\displaystyle \int f'(x) \cos{f(x)}\, \mathrm {d} x = \sin{f(x)} + c$

$\displaystyle \int f'(x)\sinh f(x) \, \mathrm {d} x = \cosh f(x) + c$

$\displaystyle \int f'(x) \cosh f(x) \, \mathrm {d} x = \sinh f(x) + c$

Proprietà di linearità

$\displaystyle \int \left(af(x) + bg(x)\right) \, dx = a\int f(x) \, dx + b\int g(x) \, dx$

Integrazione per parti

$\displaystyle \int f'(x)\cdot g(x) dx= f(x)\cdot g(x)-\int f(x)\cdot g'(x) dx$

Metodo di sostituzione

$\displaystyle \int f(x) \, dx=\int f(g(t))g'(t) \, dt \quad \text{(dove $x = g(t)$)}$

Razionali fratte: grado numeratore maggiore o uguale del grado del denominatore

$\displaystyle \int \frac{{N(x)}}{{M(x)}} \, dx = \int \left( \frac{{R(x)}}{{M(x)}} + Q(x) \right) \, dx$

Razionali fratte: grado numeratore minore del grado del denominatore (radici non multiple)

$\displaystyle \int \frac{P(x)}{Q(x)} \, dx = \int \left(\frac{A_1}{x – a_1} + \frac{A_2}{x – a_2} + \ldots + \frac{A_n}{x – a_n}\right) \, dx $

Razionali fratte: grado numeratore minore del grado del denominatore (radici multiple)

$\displaystyle \int \frac{P(x)}{Q(x)} \, dx = \int \left(\frac{A_1}{x – a_1} + \frac{A_2}{(x – a_1)^2} + \ldots + \frac{A_n}{(x – a_1)^n}\right) \, dx $

Razionali fratte: grado numeratore minore del grado del denominatore (denominatore irriducibile)

$\displaystyle \int \frac{P(x)}{(ax^2 + bx + c)^n} \, dx=$

$\displaystyle =\int \left( \frac{A_1x + B_1}{ax^2 + bx + c} + \frac{A_2x + B_2}{(ax^2 + bx + c)^2} + \ldots + \frac{A_nx + B_n}{(ax^2 + bx + c)^n} \right) \, dx $