DERIVATE

Derivate delle funzioni elementari

$\displaystyle f(x)=x$    $\displaystyle f'(x)=0$

$\displaystyle f(x)=x^n$   $\displaystyle f'(x)=nx^{n-1}$

$\displaystyle f(x)=e^x$   $\displaystyle f'(x)=e^x$

$\displaystyle f(x)=a^x$ (a > 0, a $\neq$ 1)   $\displaystyle f'(x)=(\ln(a)) \cdot a^x$

$\displaystyle f(x)=\ln(x)$   $\displaystyle f'(x)=\frac{1}{x}$

$\displaystyle f(x)=\log_a(x)$ (a > 0, a $\neq$ 1)   $\displaystyle f'(x)=\frac{1}{x \cdot \ln(a)}$

$\displaystyle f(x)=\sin(x)$   $\displaystyle f'(x)=\cos(x)$

$\displaystyle f(x)=\cos(x)$   $\displaystyle f'(x)=-\sin(x)$

$\displaystyle f(x)=\tan(x)$   $\displaystyle f'(x)=\sec^2(x)$

$\displaystyle f(x)=\cot(x)$   $\displaystyle f'(x)=-\csc^2(x)$

$\displaystyle f(x)=\sec(x)$   $\displaystyle f'(x)=\sec(x) \cdot \tan(x)$

$\displaystyle f(x)=\csc(x)$   $\displaystyle f'(x)=-\csc(x) \cdot \cot(x)$

$\displaystyle f(x)=\arcsin(x)$   $\displaystyle f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1 – x^2}}$

$\displaystyle f(x)=\arccos(x)$   $\displaystyle f'(x)=-\frac{1}{\sqrt{1 – x^2}}$

$\displaystyle f(x)=\arctan(x)$   $\displaystyle f'(x)=\frac{1}{1 + x^2}$

$\displaystyle f(x)=\text{arccot}(x)$   $\displaystyle f'(x)=-\frac{1}{1 + x^2}$

$\displaystyle f(x)=\text{arcsec}(x)$   $\displaystyle f'(x)=\frac{1}{|x| \cdot \sqrt{x^2 – 1}}$

$\displaystyle f(x)=\text{arccsc}(x)$   $\displaystyle f'(x)=-\frac{1}{|x| \cdot \sqrt{x^2 – 1}}$

Linearità della derivata

La proprietà di linearità della derivata afferma che se $f(x)$ e $g(x)$ sono due funzioni differenziabili e $c$ è una costante, allora vale:

$\displaystyle \frac{d}{dx}(cf(x) + g(x)) = c\frac{d}{dx}f(x) + \frac{d}{dx}g(x) $

Derivata del prodotto di due funzioni

La derivata del prodotto di due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ è calcolata utilizzando la regola del prodotto:

$\displaystyle \frac{d}{dx}(f(x) \cdot g(x)) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$

Derivata del quoziente di due funzioni

La derivata del quoziente di due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ può essere calcolata utilizzando la regola del quoziente:

$\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x) \cdot g(x) – f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2} $

Derivata di una funzione composta

$\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f(g(x))\right]=[f'(g(x))]\cdot g'(x)$