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Come calcolare la derivata del prodotto e del quoziente di due funzioni





ESERCIZIO

Calcola le seguenti derivate applicando la regola di derivazione del prodotto di funzioni:

a) \displaystyle y=x^2\cos x

b) \displaystyle y=3x^3\ln x

SOLUZIONE

Ricordiamo la formula per calcolare la derivata del prodotto di due funzioni

\displaystyle \mathrm{D}[{f(x) \cdot g(x)}] = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)

Calcoliamo f'(x) e g'(x) e li sostituiamo nella formula.

a) \displaystyle y'=2x\cdot \cos x + x^2\cdot (-\sin x)=2x\cos x - x^2\sin x

b) \displaystyle y'=9x^2\cdot \ln x +3x^3\cdot \frac{1}{x}=9x^2\ln x +3x^2

 ESERCIZIO

Calcola le seguenti derivate applicando la regola di derivazione del quoziente di funzioni:

a) \displaystyle y=\frac{x^2}{\cos x}

b) \displaystyle y=\frac{3x^3}{\ln x}

SOLUZIONE

Ricordiamo la formula per calcolare la derivata del quoziente di due funzioni

\mathrm{D}\! \displaystyle \left[ {f(x) \over g(x)} \right] = { f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x) \over (g(x))^2}

Calcoliamo f'(x) e g'(x) e li sostituiamo nella formula.

a) \displaystyle y'=\frac{2x\cdot \cos x - x^2\cdot (-\sin x)}{\cos^2 x}=\frac{2x\cos x + x^2\sin x}{\cos^2 x}

b) \displaystyle y'=\frac{9x^2\cdot \ln x -3x^3\cdot \frac{1}{x}}{\ln^2 x}=\frac{9x^2\ln x -3x^2}{\ln^2 x}