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Integrale del logaritmo naturale

ESERCIZIO

Calcola il seguente integrale: \displaystyle \int lnxdx

SOLUZIONE

Per risolvere l'integrale applichiamo la formula di integrazione per parti:  \displaystyle \int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx, ponendo f(x)=lnx e g'(x)=1, calcoliamo f'(x)=\frac {1}{x} e g(x)=x e sostituiamo nella formula:

\displaystyle \int lnx dx=xlnx-\int x \cdot \frac {1}{x}dx=xlnx-x+c=x(lnx-1)+c

Integrazione per sostituzione

Calcola i seguenti integrali con il metodo di integrazione per sostituzione:

ESERCIZIO 1) \displaystyle \int\frac{e^{x}}{\sqrt{1-e^{2x}}}dx.

SOLUZIONE

Poniamo t=e^x da cui dt=e^x dx.

Effettuiamo la sostituzione e calcoliamo l'integrale immediato \displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt=arcsin(t)+c .

Poi ritorniamo alla variabile x:  \displaystyle \int\frac{e^{x}}{\sqrt{1-e^{2x}}}dx=arcsin(e^x)+c .

ESERCIZIO 2) \displaystyle \int\frac{\sqrt{tan x}}{cos^2x}dx.

SOLUZIONE

Poniamo tan x=t da cui \frac{1}{cos^2x}dx=dt.

Effettuiamo la sosituzione e calcoliamo l'integrale immediato \displaystyle \int\sqrt{t}dt=\frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}+c.

Poi ritorniamo alla variabile x:  \displaystyle \int\frac{\sqrt{tan x}}{cos^2x}dx=\frac{2}{3}(tanx)^{\frac{3}{2}}+c.