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Come risolvere limiti esponenziali da destra e da sinistra





COME RISOLVERE LIMITI ESPONENZIALI DA DESTRA E DA SINISTRA

ESERCIZIO

Calcola i seguenti limiti:

a) \displaystyle\lim_{x\to +3^-} e^\frac{2}{x^2-9}

b)  \displaystyle\lim_{x\to +3^+} e^\frac{2}{x^2-9}

c)  \displaystyle\lim_{x\to -3^-} e^\frac{2}{x^2-9}\!=

d)  \displaystyle\lim_{x\to -3^+} e^\frac{2}{x^2-9}\!

e)  \displaystyle\lim_{x\to +{\frac{1}{3}}^-} e^\frac{-2}{9x^2-1} \!

f)  \displaystyle\lim_{x\to +{\frac{1}{3}}^+} e^\frac{-2}{9x^2-1} \!

g)  \displaystyle\lim_{x\to -{\frac{1}{3}}^-} e^\frac{-2}{9x^2-1} \!

h)  \displaystyle\lim_{x\to -{\frac{1}{3}}^+} e^\frac{-2}{9x^2-1} \!

SOLUZIONE

a)  \displaystyle\lim_{x\to +3^-} e^\frac{2}{x^2-9}\!=e^\frac{2}{0^-}=e^{-\infty}=\frac{1}{e^{+\infty}}=\frac{1}{+\infty}=0

Sostituiamo al posto della x un numero minore di 3. La differenza tra un numero minore di 3 elevato al quadrato e 9 è un numero negativo prossimo a 0 (0^-).

b)  \displaystyle\lim_{x\to +3^+} e^\frac{2}{x^2-9}\!=e^\frac{2}{0^+}=e^{+\infty}=+\infty

Sostituiamo al posto della x un numero maggiore di 3. La differenza tra un numero maggiore di 3 elevato al quadrato e 9 è un numero positivo prossimo a 0 (0^+).

c)  \displaystyle\lim_{x\to -3^-} e^\frac{2}{x^2-9}\!=e^\frac{2}{0^+}=e^{+\infty}=+\infty

Sostituiamo al posto della x un numero minore di -3. La differenza tra un numero minore di -3 elevato al quadrato e  9 è un numero positivo prossimo a 0 (0^+).

d)  \displaystyle\lim_{x\to -3^+} e^\frac{2}{x^2-9}\!=e^\frac{2}{0^-}=e^{-\infty}=\frac{1}{e^{+\infty}}=\frac{1}{+\infty}=0

Sostituiamo al posto della x un numero maggiore di -3. La differenza tra un numero maggiore di -3 elevato al quadrato e 9 è un numero negativo prossimo a 0 (0^-).

e) \displaystyle\lim_{x\to +{\frac{1}{3}}^-} e^\frac{-2}{9x^2-1} \!=e^\frac{-2}{0^-}=e^{+\infty}=+\infty

Sostituiamo  al posto della x un numero minore di \frac{1}{3}. Poi, moltiplicando per 9 il quadrato di un numero minore di \frac{1}{3}, otteniamo un numero minore di 1. La differenza tra quest'ultimo e 1 è un numero negativo prossimo a 0 (0^-).

f)  \displaystyle\lim_{x\to +{\frac{1}{3}}^+} e^\frac{-2}{9x^2-1}=e^\frac{-2}{0^+}=e^{-\infty}=\frac{1}{e^{+\infty}}=\frac{1}{+\infty}=0

Sostituiamo al posto della x un numero maggiore di \frac{1}{3}. Poi, moltiplicando per 9 il quadrato di un numero maggiore di \frac{1}{3}, otteniamo un numero maggiore di 1. La differenza tra quest'ultimo e 1 è un numero positivo prossimo a 0 (0^+).

g)  \displaystyle\lim_{x\to -{\frac{1}{3}}^-} e^\frac{-2}{9x^2-1} \!=e^\frac{-2}{0^+}=e^{-\infty}=\frac{1}{e^{+\infty}}=\frac{1}{+\infty}=0

Sostituiamo al posto della x un numero minore di -\frac{1}{3}. Poi, moltiplicando per 9 il quadrato di un numero minore di -\frac{1}{3}, otteniamo un numero maggiore di 1. La differenza tra quest'ultimo e 1 è un numero positivo prossimo a 0 (0^+).

h) \displaystyle\lim_{x\to -{\frac{1}{3}}^+} e^\frac{-2}{9x^2-1} \!=e^\frac{-2}{0^-}=e^{+\infty}=+\infty

Sostituiamo al posto della x un numero maggiore di -\frac{1}{3}. Poi, moltiplicando per 9 il quadrato di un numero maggiore di -\frac{1}{3}, otteniamo un numero minore di 1. La differenza tra quest'ultimo e 1 è un numero negativo prossimo a 0 (0^-).

Calcolo dei limiti: forma indeterminata infinito/infinito

ESERCIZIO

Calcola il seguente limite:

1. \displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{x^4+3x^3+2x}{x^3-5x^2+3};

SOLUZIONE

Sostituiamo \displaystyle\infty alla funzione e otteniamo la forma indeterminata \displaystyle\frac{\infty}{\infty}. Per risolvere la forma indeterminata raccogliamo il monomio di grado maggiore sia al numeratore che al denominatore:

\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{x^4(1+3/x+2/x^3)}{x^3(1-5/x+3/x^3)}.

Osserviamo che per \displaystyle x\rightarrow \infty, 3/x, 2/x^3, 5/x, 3/x^3 tendono a 0 quindi,

\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{x^4}{x^3}=\lim_{x\rightarrow \infty} x=\infty.