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Valore medio di una funzione

ESERCIZIO

Calcola il valore medio della funzione f(x)=x^3-2x nell'intervallo [1,4].

SOLUZIONE

Per calcolare il valore medio della funzione applichiamo il teorema della media integrale: \displaystyle f(c)=\frac{ 1 } { b-a } \int_a^b f(x) dx.

Nel nostro caso \displaystyle f(c)=\frac{ 1 } { 4-1} \int_1^4 (x^3-2x)dx=\frac{ 1 } { 3}\left [\frac{ 1 } { 4}x^4-x^2 \right]_1^4=\frac{ 1 } { 3}\left [\left(\frac{ 1 } { 4}\cdot 4^4-4^2 \right)-\left(\frac{ 1 } { 4}-1\right )\right]=\frac{ 1 } { 3}\left(48+\frac{ 3 } { 4}\right)=\frac{ 1 } { 3}\cdot \frac{ 195 } { 4}=\frac{ 65 } { 4}.