Archivio Categoria: Algebra

Diagrammi di Eulero Venn: differenza tra due insiemi

Diagrammi di Eulero Venn: differenza tra due insiemi

differenza_tra_insiemi

Diagrammi di Eulero Venn: insieme complementare

Diagramma di Eulero Venn: insieme complementare

insieme complementare

Diagrammi di Eulero Venn: intersezione di due insiemi

Diagramma di Eulero Venn: intersezione di due insiemi

intersezione

Diagrammi di Eulero Venn: unione di due insiemi

Diagramma di Eulero Venn: unione di due insiemi

unione

Esercizi sui monomi: coefficiente, grado, monomio simile, monomio opposto


ESERCIZIO

Per ogni monomio scrivi il coefficiente, la parte letterale, il grado, un monomio simile e il monomio opposto:

Monomio Coefficiente Parte letterale Grado Monomio simile Monomio opposto
+6x^2y^3
-11xab^2
+9
+2x

SOLUZIONE

Monomio Coefficiente Parte letterale Grado Monomio simile Monomio opposto
+6x^2y^3 +6 x^2y^3 5 -12x^2y^3 -6x^2y^3
-11xab^2 -11 xab^2 4 +34xab^2 +11xab^2
+9 +9 0 +123 -9
+2x +2 x 1 -3x -2x

Esercizi sulle espressioni letterali




ESERCIZIO

Calcola il valore delle seguenti espressioni letterali per a=-1, b=-2, c=+3, d=+2.

a) \displaystyle2a^2bc-3d

b) \displaystyle\frac{1}{2}ab-2c\left[d-4a\right]

c) \displaystyle\frac{2ab-2cd-4a}{ad^2}

SOLUZIONE

Sostituiamo al posto delle lettere i corrispondenti valori numerici: a=-1, b=-2, c=+3, d=+2.

a) \displaystyle2a^2bc-3d=2(-1)^2(-2)(+3)-3(+2)=2(+1)(-2)(+3)-6=-12-6=-18

b) \displaystyle\frac{1}{2}ab-2c\left[d-4a\right]=\frac{1}{2}(-1)(-2)-2(3)\left[2-4(-1)\right]=

+1-6\left[2+4\right]=+1-6(+6)=1-36=-35

c) \displaystyle\frac{2ab-2cd-4a}{ad^2}=\frac{2(-1)(-2)-2(+3)(+2)-4(-1)}{(-1)(+2)^2}=\frac{+4-12+4}{-4}=\frac{-4}{-4}=+1

Come risolvere le equazioni di secondo grado





EQUAZIONI DI SECONDO GRADO COMPLETE

Un'equazione di secondo grado ad una incognita x completa ha la forma \displaystyle ax^2+bx+c=0 con a\neq 0.

Per il teorema fondamentale dell'algebra, le soluzioni (dette anche radici o zeri) delle equazioni di secondo grado in \mathbb{C} sono sempre due, se contate con la loro molteplicità. In \mathbb{R} invece possono ammettere due soluzioni, una soluzione doppia, oppure nessuna soluzione.

Le soluzioni in \mathbb{R}  si trovano con la formula \displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.

in cui con \displaystyle \Delta = b^2 - 4ac indichiamo il discriminante.

  • se \displaystyle \Delta>0 l'equazione ammette due soluzioni distinte;
  • se \displaystyle \Delta=0 l'equazione ammette una soluzione doppia (con molteplicità 2);
  • se \displaystyle \Delta<0 l'equazione non ammette soluzioni.

Se b è pari si può utilizzare la formula ridotta \displaystyle x_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{(\frac{b}{2})^2-ac}}{a}.

ESERCIZIO

Risolvi le seguenti equazioni complete:

a) \displaystyle 3x^2+4x+1=0

b)\displaystyle x^2+2x+1=0

c) \displaystyle 5x^2+2x+2=0

SOLUZIONE

a) \displaystyle 3x^2+4x+1=0

Sostituiamo a=+3,  b=+4,  c=+1 nella formula \displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

\displaystyle x_{1,2}=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot 3\cdot 1}}{2\cdot 3}=\frac{-4\pm\sqrt{4}}{6}

L'equazione ammette due soluzioni distinte \displaystyle x_{1}=-\frac{1}{3} \vee \displaystyle x_{2}=-1 (\displaystyle \Delta>0).

b) \displaystyle x^2+2x+1=0

Sostituiamo a=+1,  b=+2,  c=+1 nella formula \displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

\displaystyle x_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot 1}}{2\cdot 1}=\frac{-2\pm\sqrt{0}}{2}

L'equazione ammette una soluzione doppia \displaystyle x_{1}=x_{2}=-1b (\displaystyle \Delta=0).

c) \displaystyle 5x^2+2x+2=0

Sostituiamo a=-5,  b=+2,  c=-2 nella formula \displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

\displaystyle x_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot (-5)\cdot (-2)}}{2\cdot (-5)}=\frac{-2\pm\sqrt{-36}}{-10}

L'equazione non ammette soluzioni in \mathbb{R}(\displaystyle \Delta<0).

EQUAZIONI DI SECONDO GRADO INCOMPLETE

se b=0 e a\neq 0 un'equazione di secondo grado ad una incognita x ha la forma \displaystyle ax^2+c=0 e si risolve isolando i termini.

se c=0 a\neq 0 un'equazione di secondo grado ad una incognita x ha la forma \displaystyle ax^2+bx=0 e si risolve raccogliendo l'incognita x.

ESERCIZIO

Risolvi le seguenti equazioni incomplete:

a) \displaystyle 3x^2+4x=0

b)\displaystyle x^2-4=0

c) \displaystyle x^2+2=0

SOLUZIONE

a) \displaystyle 3x^2+4x=0

Quando c=0 raccogliamo la x:

\displaystyle x(3x+4)=0, per la legge di annullamento del prodotto deve essere

\displaystyle x=0 o \displaystyle 3x+4=0.

Si risolvono le due equazioni di primo grado

\displaystyle x=0

\displaystyle 3x+4=0 \rightarrow \displaystyle x=-\frac{4}{3}.

L'equazione ammette due soluzioni distinte \displaystyle x=0  \vee  \displaystyle x=-\frac{4}{3}.

b)\displaystyle x^2-4=0

Quando b=0 risolviamo isolando l'incognita dal termine noto:

\displaystyle x^2=4  \rightarrow \displaystyle x^2=\pm\sqrt{4}=\pm2.

L'equazione ammette due soluzioni opposte.

c) \displaystyle x^2+2=0

In questo caso particolare, in cui b=0, l'equazione non ammette soluzioni.

Si può ragionare in due modi:

1) possiamo dire che la somma di un numero positivo +2 con un qualsiasi numero elevato al quadrato, essendo positivo, non può mai essere 0;

2) possiamo risolvere \displaystyle x^2=-2 \rightarrow x=\pm\sqrt{-2} e concludere dicendo che la radice di un numero negativo non esiste in \mathbb{R}.

Come scomporre polinomi con la regola di Ruffini





ESERCIZIO

Scomponi il polinomio P(x)=x^3-5x^2+7x-2 con la regola di Ruffini.

SOLUZIONE

Il polinomio deve essere ordinato dal grado maggiore al minore. In questo caso P(x) è già ordinato, possiamo, quindi, applicare la regola di Ruffini.

Dobbiamo trovare tra i divisori del termine noto (\pm 1 e \pm 2) quelli che sono soluzioni o radici del polinomio P(x).  Per far ciò, sostituiamo al posto della x i divisori \pm 1 e \pm 2 e cerchiamo quelli che rendono il polinomio P(x)=0.

P(x)=x^3-5x^2+7x-2

P(+1)=(+1)^3-5(+1)^2+7(+1)-2=1-5+7-2\neq 0

P(-1)=(-1)^3-5(-1)^2+7(-1)-2=-1-5-7-2\neq 0

P(+2)=(+2)^3-5(+2)^2+7(+2)-2=8-20+14-2=0 quindi +2 è radice di P(x)

P(-2)=(-2)^3-5(-2)^2+7(-2)-2=-8-20-14-2\neq 0

La radice ottenuta è r=+2 e il polinomio di primo grado, divisore di P(x), è (x-r)=(x-2).

Ora, una volta trovata la radice, possiamo applicare la regola di Ruffini per scomporre il polinomio P(x).

REGOLA DI RUFFINI

P(x)=x^3-5x^2+7x-2

Inseriamo in alto, all'interno delle due linee verticali, i coefficienti del polinomio +1, -5, +7 mentre all'esterno il termine noto -2. In basso a sinistra inseriamo invece la radice +2, cioè

%<br />
\begin{array}{c|ccc|c} &+1 & -5 & +7& -2\\+2& & & & \\ \hline & & & & \\\end{array}%<br />

Abbassiamo il coefficiente del grado maggiore +1  sotto la riga orizzontale e lo moltiplichiamo con la radice +2. Il risultato della moltiplicazione (+2) lo posizioniamo sopra la riga orizzontale.

%<br />
\begin{array}{c|ccc|c} &+1 & -5 & +7& -2\\+2& &+2 & & \\ \hline &+1 & & & \\\end{array}%<br />

Eseguiamo l'addizione tra -5 e +2 e posizioniamo il risultato -3 sotto la riga orizzontale. Moltiplichiamo -3 con la radice +2.  Il risultato della moltiplicazione (-6) lo posizioniamo sopra la riga orizzontale.

%<br />
\begin{array}{c|ccc|c} &+1 & -5 & +7& -2\\+2& &+2 &-6 & \\ \hline &+1 &-3& & \\\end{array}%<br />

Eseguiamo l'addizione tra +7 e -6 e posizioniamo il risultato +1 sotto la riga orizzontale. Moltiplichiamo +1 con la radice +2.  Il risultato della moltiplicazione (+2) lo posizioniamo sopra la riga orizzontale.

%<br />
\begin{array}{c|ccc|c} &+1 & -5 & +7& -2\\+2& &+2 &-6 &+2 \\ \hline &+1 &-3&+1 & \\\end{array}%<br />

Eseguiamo l'addizione tra -2 e +2 e posizioniamo il risultato 0 sotto la riga orizzontale.  Questo risultato è il resto della divisione tra P(x) e (x-2).

%<br />
\begin{array}{c|ccc|c} &+1 & -5 & +7& -2\\+2& &+2 &-6 &+2 \\ \hline &+1 &-3&+1 &0 \\\end{array}%<br />

Dall'ultima riga, all'interno delle linee verticali, otteniamo i coefficienti e il termine noto del polinomio, ridotto di un grado rispetto a quello iniziale. Esso rappresenta il quoziente della divisione di P(x) per (x-2) ed è uguale a x^2-3x+1.

A questo punto possiamo scrivere:

P(x)=x^3-5x^2+7x-2=(x^2-3x+1)(x-2).

Disequazioni parametriche


ESERCIZIO

Data la disequazione 3x^2+2(k-1)x+k-1>0, determina per quali valori di k essa risulta verificata per ogni valore reale di x.

SOLUZIONE

Il segno del monomio di grado 2 è positivo e la disequazione è >0, quindi, per essere verificata per ogni valore reale di x, si deve imporre il \Delta<0.

b^2-4ac<0,

[2(k-1)]^2-4\cdot 3(k-1)<0,

4(k^2+1-2k)-12k+12<0,

4k^2+4-8k-12k+12<0,

4k^2-20k+16<0,

k^2-5k+4<0,

\displaystyle k_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{25-16}}{2}, k_1=4, k_2=1.

La soluzione della disequazione di secondo grado in k è S=\lbrace 1<k<4\rbrace.

Formulario sulle disequazioni irrazionali


DISEQUAZIONI IRRAZIONALI DI INDICE PARI

1° caso \displaystyle\sqrt[n]{f(x)} \geq g(x)

la disequazione è equivalente all'unione dei sistemi:

\left\{ \begin{matrix}g(x) \geq 0 \\ f(x) \geq [g(x)]^n \end{matrix} \right. \vee\;  \left\{ \begin{matrix}f(x) \geq 0 \\g(x)< 0\end{matrix}\right.

2° caso \displaystyle\sqrt[n]{f(x)} \leq g(x)

la disequazione è equivalente al sistema:

\left\{ \begin{matrix}g(x) \geq 0 \\f(x)\geq 0 \\f(x) \leq [g(x)]^n \end{matrix} \right.

ESERCIZIO

\sqrt{x^2+5} > x+1

SOLUZIONE

Ci troviamo nel 1° caso, quindi la disequazione è equivalente a:

\left\{ \begin{matrix}x+1\geq 0\\x^2+5>(x+1)^2 \end{matrix} \right. \vee\ \left\{ \begin{matrix}x^2+5\geq 0\\x+1 < 0 \end{matrix} \right.

\left\{ \begin{matrix}x\geq -1\\x<4 \end{matrix} \right. \vee\ \left\{ \begin{matrix}\forall x\in \mathbb{R}\\x < -1 \end{matrix} \right.

La soluzione del primo sistema è S_1=\lbrace x\in \mathbb{R}: -1\leq x<4\rbrace, la soluzione del secondo sistema è S_2=\lbrace x\in \mathbb{R}: x<-1\rbrace. La soluzione finale è S=\lbrace x\in \mathbb{R}: x<4\rbrace.

 ESERCIZIO

\sqrt{x^2+3} < x+1

SOLUZIONE

Ci troviamo nel 2° caso, quindi la disequazione è equivalente a:

\left\{ \begin{matrix}x+1\geq 0\\x^2+3\geq 0\\x^2+3<(x+1)^2 \end{matrix} \right.

\left\{ \begin{matrix}x\geq -1\\\forall x\in \mathbb{R}\\x>1 \end{matrix} \right.

La soluzione del sistema è S=\lbrace x\in \mathbb{R}: x>1\rbrace.

DISEQUAZIONI IRRAZIONALI DI INDICE DISPARI

Per risolvere le disequazioni irrazionali di indice pari non si devono imporre condizioni di esistenza e non occorre impostare una discussione. Esse si risolvono, a prescindere dal verso della disequazione, elevando entrambi i membri alla n.

\displaystyle\sqrt[n]{f(x)} \geq g(x) la disequazione è equivalente a: \displaystyle f(x) \geq [g(x)]^n

\displaystyle\sqrt[n]{f(x)} \leq g(x) la disequazione è equivalente a: \displaystyle f(x) \leq [g(x)]^n

ESERCIZIO

\displaystyle\sqrt[3]{x-3} \geq x+1

SOLUZIONE

\displaystyle x^3+3x^2\geq (x+1)^3

\displaystyle x^3+3x^2\geq x^3+3x^2+3x+1

\displaystyle x\leq -\frac{1}{3}

La soluzione della disequazione è S=\lbrace x\in \mathbb{R}: x\leq -\frac{1}{3}\rbrace.