Archivio Categoria: Disequazioni

Disequazioni parametriche


ESERCIZIO

Data la disequazione 3x^2+2(k-1)x+k-1>0, determina per quali valori di k essa risulta verificata per ogni valore reale di x.

SOLUZIONE

Il segno del monomio di grado 2 è positivo e la disequazione è >0, quindi, per essere verificata per ogni valore reale di x, si deve imporre il \Delta<0.

b^2-4ac<0,

[2(k-1)]^2-4\cdot 3(k-1)<0,

4(k^2+1-2k)-12k+12<0,

4k^2+4-8k-12k+12<0,

4k^2-20k+16<0,

k^2-5k+4<0,

\displaystyle k_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{25-16}}{2}, k_1=4, k_2=1.

La soluzione della disequazione di secondo grado in k è S=\lbrace 1<k<4\rbrace.

Formulario sulle disequazioni irrazionali


DISEQUAZIONI IRRAZIONALI DI INDICE PARI

1° caso \displaystyle\sqrt[n]{f(x)} \geq g(x)

la disequazione è equivalente all'unione dei sistemi:

\left\{ \begin{matrix}g(x) \geq 0 \\ f(x) \geq [g(x)]^n \end{matrix} \right. \vee\;  \left\{ \begin{matrix}f(x) \geq 0 \\g(x)< 0\end{matrix}\right.

2° caso \displaystyle\sqrt[n]{f(x)} \leq g(x)

la disequazione è equivalente al sistema:

\left\{ \begin{matrix}g(x) \geq 0 \\f(x)\geq 0 \\f(x) \leq [g(x)]^n \end{matrix} \right.

ESERCIZIO

\sqrt{x^2+5} > x+1

SOLUZIONE

Ci troviamo nel 1° caso, quindi la disequazione è equivalente a:

\left\{ \begin{matrix}x+1\geq 0\\x^2+5>(x+1)^2 \end{matrix} \right. \vee\ \left\{ \begin{matrix}x^2+5\geq 0\\x+1 < 0 \end{matrix} \right.

\left\{ \begin{matrix}x\geq -1\\x<4 \end{matrix} \right. \vee\ \left\{ \begin{matrix}\forall x\in \mathbb{R}\\x < -1 \end{matrix} \right.

La soluzione del primo sistema è S_1=\lbrace x\in \mathbb{R}: -1\leq x<4\rbrace, la soluzione del secondo sistema è S_2=\lbrace x\in \mathbb{R}: x<-1\rbrace. La soluzione finale è S=\lbrace x\in \mathbb{R}: x<4\rbrace.

 ESERCIZIO

\sqrt{x^2+3} < x+1

SOLUZIONE

Ci troviamo nel 2° caso, quindi la disequazione è equivalente a:

\left\{ \begin{matrix}x+1\geq 0\\x^2+3\geq 0\\x^2+3<(x+1)^2 \end{matrix} \right.

\left\{ \begin{matrix}x\geq -1\\\forall x\in \mathbb{R}\\x>1 \end{matrix} \right.

La soluzione del sistema è S=\lbrace x\in \mathbb{R}: x>1\rbrace.

DISEQUAZIONI IRRAZIONALI DI INDICE DISPARI

Per risolvere le disequazioni irrazionali di indice pari non si devono imporre condizioni di esistenza e non occorre impostare una discussione. Esse si risolvono, a prescindere dal verso della disequazione, elevando entrambi i membri alla n.

\displaystyle\sqrt[n]{f(x)} \geq g(x) la disequazione è equivalente a: \displaystyle f(x) \geq [g(x)]^n

\displaystyle\sqrt[n]{f(x)} \leq g(x) la disequazione è equivalente a: \displaystyle f(x) \leq [g(x)]^n

ESERCIZIO

\displaystyle\sqrt[3]{x-3} \geq x+1

SOLUZIONE

\displaystyle x^3+3x^2\geq (x+1)^3

\displaystyle x^3+3x^2\geq x^3+3x^2+3x+1

\displaystyle x\leq -\frac{1}{3}

La soluzione della disequazione è S=\lbrace x\in \mathbb{R}: x\leq -\frac{1}{3}\rbrace.