Archivio Categoria: Scomposizione dei polinomi

Formulario sui prodotti notevoli

Un prodotto notevole è un'identità che compare spesso nel calcolo letterale, in particolare per effettuare velocemente il prodotto e le potenze di polinomi di forme particolari.

Quadrato di un binomio

\displaystyle (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

\displaystyle (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Quadrato di un trinomio

\displaystyle (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc

Somma per differenza

\displaystyle (a + b)(a - b) = a^2 - b^2

Cubo di un binomio

\displaystyle (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

\displaystyle (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3

Somma di due cubi

\displaystyle a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

Differenza di due cubi

\displaystyle a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

Come scomporre polinomi con la regola di Ruffini





ESERCIZIO

Scomponi il polinomio P(x)=x^3-5x^2+7x-2 con la regola di Ruffini.

SOLUZIONE

Il polinomio deve essere ordinato dal grado maggiore al minore. In questo caso P(x) è già ordinato, possiamo, quindi, applicare la regola di Ruffini.

Dobbiamo trovare tra i divisori del termine noto (\pm 1 e \pm 2) quelli che sono soluzioni o radici del polinomio P(x).  Per far ciò, sostituiamo al posto della x i divisori \pm 1 e \pm 2 e cerchiamo quelli che rendono il polinomio P(x)=0.

P(x)=x^3-5x^2+7x-2

P(+1)=(+1)^3-5(+1)^2+7(+1)-2=1-5+7-2\neq 0

P(-1)=(-1)^3-5(-1)^2+7(-1)-2=-1-5-7-2\neq 0

P(+2)=(+2)^3-5(+2)^2+7(+2)-2=8-20+14-2=0 quindi +2 è radice di P(x)

P(-2)=(-2)^3-5(-2)^2+7(-2)-2=-8-20-14-2\neq 0

La radice ottenuta è r=+2 e il polinomio di primo grado, divisore di P(x), è (x-r)=(x-2).

Ora, una volta trovata la radice, possiamo applicare la regola di Ruffini per scomporre il polinomio P(x).

REGOLA DI RUFFINI

P(x)=x^3-5x^2+7x-2

Inseriamo in alto, all'interno delle due linee verticali, i coefficienti del polinomio +1, -5, +7 mentre all'esterno il termine noto -2. In basso a sinistra inseriamo invece la radice +2, cioè

%<br />
\begin{array}{c|ccc|c} &+1 & -5 & +7& -2\\+2& & & & \\ \hline & & & & \\\end{array}%<br />

Abbassiamo il coefficiente del grado maggiore +1  sotto la riga orizzontale e lo moltiplichiamo con la radice +2. Il risultato della moltiplicazione (+2) lo posizioniamo sopra la riga orizzontale.

%<br />
\begin{array}{c|ccc|c} &+1 & -5 & +7& -2\\+2& &+2 & & \\ \hline &+1 & & & \\\end{array}%<br />

Eseguiamo l'addizione tra -5 e +2 e posizioniamo il risultato -3 sotto la riga orizzontale. Moltiplichiamo -3 con la radice +2.  Il risultato della moltiplicazione (-6) lo posizioniamo sopra la riga orizzontale.

%<br />
\begin{array}{c|ccc|c} &+1 & -5 & +7& -2\\+2& &+2 &-6 & \\ \hline &+1 &-3& & \\\end{array}%<br />

Eseguiamo l'addizione tra +7 e -6 e posizioniamo il risultato +1 sotto la riga orizzontale. Moltiplichiamo +1 con la radice +2.  Il risultato della moltiplicazione (+2) lo posizioniamo sopra la riga orizzontale.

%<br />
\begin{array}{c|ccc|c} &+1 & -5 & +7& -2\\+2& &+2 &-6 &+2 \\ \hline &+1 &-3&+1 & \\\end{array}%<br />

Eseguiamo l'addizione tra -2 e +2 e posizioniamo il risultato 0 sotto la riga orizzontale.  Questo risultato è il resto della divisione tra P(x) e (x-2).

%<br />
\begin{array}{c|ccc|c} &+1 & -5 & +7& -2\\+2& &+2 &-6 &+2 \\ \hline &+1 &-3&+1 &0 \\\end{array}%<br />

Dall'ultima riga, all'interno delle linee verticali, otteniamo i coefficienti e il termine noto del polinomio, ridotto di un grado rispetto a quello iniziale. Esso rappresenta il quoziente della divisione di P(x) per (x-2) ed è uguale a x^2-3x+1.

A questo punto possiamo scrivere:

P(x)=x^3-5x^2+7x-2=(x^2-3x+1)(x-2).

Scomposizione di un trinomio caratteristico di primo e di secondo tipo

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Scomposizione di un trinomio caratteristico di primo e di secondo tipo

TRINOMIO CARATTERISTICO DI PRIMO TIPO

In un trinomio caratteristico di primo tipo il coefficiente del termine di secondo grado è uguale a 1.

ESEMPI

1) Scomporre il trinomio caratteristico di primo tipo x^2+7x+12 .

Dobbiamo trovare due numeri interi la cui somma è +7 e il cui prodotto è +12: i numeri sono +3 e +4.

A questo punto scomponiamo il trinomio nel modo seguente:x^2+7x+12=(x+3)(x+4).

2) Scomporre il trinomio caratteristico di primo tipo x^2+x-12.

Dobbiamo trovare due numeri interi la cui somma è +1 e il cui prodotto è -12: i numeri sono -3 e +4.

A questo punto scomponiamo il trinomio nel modo seguente:
x^2+x-12=(x-3)(x+4)..

TRINOMIO CARATTERISTICO DI SECONDO TIPO

In un trinomio caratteristico di secondo tipo il coefficiente del termine di secondo grado è diverso da 1.

ESEMPI

1) Scomporre il trinomio caratteristico di secondo tipo  3x^2-x-2.
.

Dobbiamo trovare due numeri interi la cui somma è -1 e il cui prodotto è +3\cdot (-2)=-6: i numeri sono -3 e +2.

Spezziamo il termine di primo grado in -3x e +2x e riscriviamo il trinomio nel modo seguente: x^2-x-2=3x^2-3x+2x-2=3x(x-1)+2(x-1)=(x-1)(3x+2).

2) Scomporre il trinomio caratteristico di secondo tipo  3x^2+2x-8.

Dobbiamo trovare due numeri interi la cui somma è +2 e il cui prodotto è +3\cdot (-8)=-24: i numeri sono -4 e +6.

Spezziamo il termine di primo grado in +6x e -4x e riscriviamo il trinomio nel modo seguente: 3x^2+2x-8=3x^2+6x-4x-8=3x(x+2)-4(x+2)=(x+2)(3x-4).