Archivio Categoria: Analisi matematica

Formula di Eulero

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Per dimostrare la formula di Eulero \displaystyle e^{ix}=\cos(x) + i\sin(x) si può utilizzare lo sviluppo in serie delle funzioni analitiche seno, coseno ed esponenziale:

\displaystyle e^z = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{z^n}{n!} = 1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \cdots

\displaystyle\cos z =\sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} z^{2n} = 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \cdots

\displaystyle\sin z =\sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} z^{2n+1}= z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots

Per z reale queste coincidono con l'usuale espansione in serie di Taylor delle relative funzioni reali di variabile reale.

Sostituiamo z con ix nello sviluppo di e^z:

\displaystyle e^{ix}=1+ix+\frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \frac{(ix)^4}{4!} + \frac{(ix)^5}{5!} + \frac{(ix)^6}{6!} + \frac{(ix)^7}{7!} + \frac{(ix)^8}{8!} + \cdots

Per la proprietà delle potenze, abbiamo

\displaystyle e^{ix}=1+ix+\frac{i^2x^2}{2!} + \frac{i^3x^3}{3!} + \frac{i^4x^4}{4!} + \frac{i^5x^5}{5!} + \frac{i^6x^6}{6!} + \frac{i^7x^7}{7!} + \frac{i^8x^8}{8!} + \cdots

Poi, sapendo che i^2=-1, i^3=-i, i^4=+1, i^5=+i, i^6=-1, i^7=-i, i^8=+1, otteniamo

\displaystyle e^{ix}=1+ix-\frac{x^2}{2!} - \frac{ix^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{ix^5}{5!} - \frac{x^6}{6!} - \frac{ix^7}{7!} + \frac{x^8}{8!} + \cdots

Infine, ordinando i termini, otteniamo a destra dell'uguaglianza, rispettivamente, gli sviluppi del coseno e del seno:

\displaystyle e^{ix}=\left(1-\frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!} + \cdots \right) + i\left(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \right)=\cos(x) + i\sin(x){.}

Scegliendo, quindi, x reale si ottiene la formula di Eulero

\displaystyle e^{ix}=\cos(x) + i\sin(x){.}

Sostituendo x con \pi, si ottiene:

\displaystyle e^{i\pi}=\cos(\pi) + i\sin(\pi), dalla quale si ricava l'identità di Eulero

\displaystyle e^{i\pi}+1=0.

Metodo di integrazione per parti


Il metodo di integrazione per parti è una delle principali procedure di risoluzione di integrali utilizzato per calcolare l'integrale del prodotto di due funzioni.

Siano f e g due funzioni continue e derivabili in x, la derivata del prodotto delle due funzioni è pari a:

\displaystyle \frac{\text{d}}{\text{d}x}[f(x)g(x)]=\frac{\text{d}f(x)}{\text{d}x}g(x)+f(x)\frac{\text{d}g(x)}{\text{d}x}=f^\prime(x)g(x) + f(x)g^\prime(x)

Applicando ora l'operatore integrale ad entrambi i membri dell'equazione si ottiene:

\displaystyle \int \frac{\text{d}}{\text{d}x}[f(x)g(x)] \text{d}x = \int [f^\prime(x)g(x) + f(x)g^\prime(x)] \text{d}x = \int [f^\prime(x)g(x)] \text{d}x + \int [f(x)g^\prime(x)] \text{d}x

Per il teorema fondamentale del calcolo integrale si ha che:

\displaystyle f(x)g(x) = \int [f^\prime(x)g(x)] \text{d}x + \int [f(x)g^\prime(x)] \text{d}x.

Dalla precedente si ottiene la formula di integrazione per parti:

\displaystyle \int [f^\prime(x)g(x)] \text{d}x = f(x)g(x) - \int [f(x)g^\prime(x)] \text{d}x

Esercizi sugli integrali: integrazione per parti


Ricordiamo la formula di integrazione per parti: \displaystyle\int f(x)g^\prime(x) \text{d}x = f(x)g(x) - \int f^\prime(x)g(x) \text{d}x
ESERCIZIO
Risolvi l'integrale \displaystyle\int \sin(x) \cos(x) \text{d}x con il metodo di integrazione per parti:
SOLUZIONE
\displaystyle\int \sin(x) \cos(x) \text{d}x
Poniamo \displaystyle f(x) = \sin(x), \displaystyle g^\prime(x) = \cos(x), calcoliamo \displaystyle f^\prime(x) = \cos(x), \displaystyle g(x) = \sin(x) e sostituiamo nell'espressione:
\displaystyle\int f(x)g^\prime(x) \text{d}x = f(x)g(x) - \int f^\prime(x)g(x) \text{d}x
ottenendo:
\displaystyle\int \sin(x)\cos(x) \text{d}x = \sin(x)\sin(x) - \int \cos(x)\sin(x) \text{d}x
\displaystyle2 \int \sin(x)\cos(x) \text{d}x = \sin^2(x)
\displaystyle\int \sin(x)\cos(x) \text{d}x = \frac{\sin^2(x)}{2} + c

ESERCIZIO
Risolvi l'integrale \displaystyle \int x e^x \text{d}x con il metodo di integrazione per parti:
SOLUZIONE
\displaystyle \int x e^x \text{d}x
Poniamo \displaystyle f(x) = x , \displaystyle g^\prime(x) = e^x , calcoliamo \displaystyle f^\prime(x) =1, \displaystyle g(x)=e^x e sostituiamo nell'espressione:
\displaystyle\int f(x)g^\prime(x) \text{d}x = f(x)g(x) - \int f^\prime(x)g(x) \text{d}x
cioè:
\displaystyle \int x e^x \text{d}x = x e^x - \int e^x \text{d}x
\displaystyle \int x e^x \text{d}x = x e^x - e^x + c
\displaystyle \int x e^x \text{d}x = e^x (x - 1) + c

Esercizi sugli integrali: integrali di funzioni elementari

Integrali di funzioni elementari

ESERCIZIO

Calcola i seguenti integrali:

a) \displaystyle \int \left(x^2+3x+2\right) \ \mathrm dx
b) \displaystyle \int \left(\sqrt[3]{x^4}+3x^2+\sin x\right) \ \mathrm dx

SOLUZIONE
Ricordiamo che \displaystyle \int \left[k f(x)+h g(x)\right] \ \mathrm dx=k\int f(x) \ \mathrm dx +h\int g(x) \ \mathrm dx, cioè l'integrale della somma di funzioni è uguale alla somma degli integrali delle singole funzioni e le costanti che moltiplicano le funzioni possono essere portate fuori dall'integrale.

a) \displaystyle \int \left(x^2+3x+2\right) \ \mathrm dx=\int x^2 \ \mathrm dx + 3\int x \ \mathrm dx +\int 2 \ \mathrm dx= \frac{1}{2+1}x^{2+1}+\frac{3}{1+1}x^{1+1}+2x+c=\frac{1}{3}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}+2x+c

b) \displaystyle \int \left(\sqrt[3]{x^4}+3 x^2+\sin x\right) \ \mathrm dx=\int x^{\frac{4}{3}}\ \mathrm dx+3\int x^2\ \mathrm dx+\int \sin x\ \mathrm dx =\frac{1}{\frac{4}{3}+1}x^{\frac{4}{3}+1}+\frac{3}{2+1}x^{2+1}-\cos x+c=\frac{1}{\frac{7}{3}}x^{\frac{7}{3}}+\frac{3}{3}x^{3}-\cos x+c=\frac{3}{7}x^{\frac{7}{3}}+x^{3}-\cos x+c

Come risolvere limiti esponenziali da destra e da sinistra





COME RISOLVERE LIMITI ESPONENZIALI DA DESTRA E DA SINISTRA

ESERCIZIO

Calcola i seguenti limiti:

a) \displaystyle\lim_{x\to +3^-} e^\frac{2}{x^2-9}

b)  \displaystyle\lim_{x\to +3^+} e^\frac{2}{x^2-9}

c)  \displaystyle\lim_{x\to -3^-} e^\frac{2}{x^2-9}\!=

d)  \displaystyle\lim_{x\to -3^+} e^\frac{2}{x^2-9}\!

e)  \displaystyle\lim_{x\to +{\frac{1}{3}}^-} e^\frac{-2}{9x^2-1} \!

f)  \displaystyle\lim_{x\to +{\frac{1}{3}}^+} e^\frac{-2}{9x^2-1} \!

g)  \displaystyle\lim_{x\to -{\frac{1}{3}}^-} e^\frac{-2}{9x^2-1} \!

h)  \displaystyle\lim_{x\to -{\frac{1}{3}}^+} e^\frac{-2}{9x^2-1} \!

SOLUZIONE

a)  \displaystyle\lim_{x\to +3^-} e^\frac{2}{x^2-9}\!=e^\frac{2}{0^-}=e^{-\infty}=\frac{1}{e^{+\infty}}=\frac{1}{+\infty}=0

Sostituiamo al posto della x un numero minore di 3. La differenza tra un numero minore di 3 elevato al quadrato e 9 è un numero negativo prossimo a 0 (0^-).

b)  \displaystyle\lim_{x\to +3^+} e^\frac{2}{x^2-9}\!=e^\frac{2}{0^+}=e^{+\infty}=+\infty

Sostituiamo al posto della x un numero maggiore di 3. La differenza tra un numero maggiore di 3 elevato al quadrato e 9 è un numero positivo prossimo a 0 (0^+).

c)  \displaystyle\lim_{x\to -3^-} e^\frac{2}{x^2-9}\!=e^\frac{2}{0^+}=e^{+\infty}=+\infty

Sostituiamo al posto della x un numero minore di -3. La differenza tra un numero minore di -3 elevato al quadrato e  9 è un numero positivo prossimo a 0 (0^+).

d)  \displaystyle\lim_{x\to -3^+} e^\frac{2}{x^2-9}\!=e^\frac{2}{0^-}=e^{-\infty}=\frac{1}{e^{+\infty}}=\frac{1}{+\infty}=0

Sostituiamo al posto della x un numero maggiore di -3. La differenza tra un numero maggiore di -3 elevato al quadrato e 9 è un numero negativo prossimo a 0 (0^-).

e) \displaystyle\lim_{x\to +{\frac{1}{3}}^-} e^\frac{-2}{9x^2-1} \!=e^\frac{-2}{0^-}=e^{+\infty}=+\infty

Sostituiamo  al posto della x un numero minore di \frac{1}{3}. Poi, moltiplicando per 9 il quadrato di un numero minore di \frac{1}{3}, otteniamo un numero minore di 1. La differenza tra quest'ultimo e 1 è un numero negativo prossimo a 0 (0^-).

f)  \displaystyle\lim_{x\to +{\frac{1}{3}}^+} e^\frac{-2}{9x^2-1}=e^\frac{-2}{0^+}=e^{-\infty}=\frac{1}{e^{+\infty}}=\frac{1}{+\infty}=0

Sostituiamo al posto della x un numero maggiore di \frac{1}{3}. Poi, moltiplicando per 9 il quadrato di un numero maggiore di \frac{1}{3}, otteniamo un numero maggiore di 1. La differenza tra quest'ultimo e 1 è un numero positivo prossimo a 0 (0^+).

g)  \displaystyle\lim_{x\to -{\frac{1}{3}}^-} e^\frac{-2}{9x^2-1} \!=e^\frac{-2}{0^+}=e^{-\infty}=\frac{1}{e^{+\infty}}=\frac{1}{+\infty}=0

Sostituiamo al posto della x un numero minore di -\frac{1}{3}. Poi, moltiplicando per 9 il quadrato di un numero minore di -\frac{1}{3}, otteniamo un numero maggiore di 1. La differenza tra quest'ultimo e 1 è un numero positivo prossimo a 0 (0^+).

h) \displaystyle\lim_{x\to -{\frac{1}{3}}^+} e^\frac{-2}{9x^2-1} \!=e^\frac{-2}{0^-}=e^{+\infty}=+\infty

Sostituiamo al posto della x un numero maggiore di -\frac{1}{3}. Poi, moltiplicando per 9 il quadrato di un numero maggiore di -\frac{1}{3}, otteniamo un numero minore di 1. La differenza tra quest'ultimo e 1 è un numero negativo prossimo a 0 (0^-).

Come calcolare la derivata del prodotto e del quoziente di due funzioni





ESERCIZIO

Calcola le seguenti derivate applicando la regola di derivazione del prodotto di funzioni:

a) \displaystyle y=x^2\cos x

b) \displaystyle y=3x^3\ln x

SOLUZIONE

Ricordiamo la formula per calcolare la derivata del prodotto di due funzioni

\displaystyle \mathrm{D}[{f(x) \cdot g(x)}] = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)

Calcoliamo f'(x) e g'(x) e li sostituiamo nella formula.

a) \displaystyle y'=2x\cdot \cos x + x^2\cdot (-\sin x)=2x\cos x - x^2\sin x

b) \displaystyle y'=9x^2\cdot \ln x +3x^3\cdot \frac{1}{x}=9x^2\ln x +3x^2

 ESERCIZIO

Calcola le seguenti derivate applicando la regola di derivazione del quoziente di funzioni:

a) \displaystyle y=\frac{x^2}{\cos x}

b) \displaystyle y=\frac{3x^3}{\ln x}

SOLUZIONE

Ricordiamo la formula per calcolare la derivata del quoziente di due funzioni

\mathrm{D}\! \displaystyle \left[ {f(x) \over g(x)} \right] = { f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x) \over (g(x))^2}

Calcoliamo f'(x) e g'(x) e li sostituiamo nella formula.

a) \displaystyle y'=\frac{2x\cdot \cos x - x^2\cdot (-\sin x)}{\cos^2 x}=\frac{2x\cos x + x^2\sin x}{\cos^2 x}

b) \displaystyle y'=\frac{9x^2\cdot \ln x -3x^3\cdot \frac{1}{x}}{\ln^2 x}=\frac{9x^2\ln x -3x^2}{\ln^2 x}

Formulario sui limiti notevoli





TAVOLA SUI LIMITI NOTEVOLI

\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \displaystyle\lim_{x\to \pm\infty} {\left (1+\frac{1}{x} \right )}^x\! = e
\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{\sin{ax}}{bx} = \frac{a}{b} \displaystyle\lim_{x\to \pm\infty} {\left (1+\frac{a}{x} \right )}^{bx}\! = e^{ab}
\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos{x}}{x} = 0 \displaystyle\lim_{x\to \pm\infty} {\left (\frac{x}{x+1} \right )}^x\! = \frac{1}{e}
\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2} \displaystyle\lim_{x\to 0} {\left ( 1 + ax \right ) }^{\frac{1}{x}}\! = e^a
\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{\tan x}{x} = 1 \displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{\log_a(1+x)}{x} = \log_a e = \frac{1}{\ln a}
\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\arcsin x}{x} = 1 \displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x)}{x}\! = 1
\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{\arctan x}{x} = 1 \displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{a^x-1}{x} = \ln a,\;\;a > 0
\displaystyle\lim_{x\to 1} \frac{(\arccos x)^2}{1-x} = 2  \displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1
 \displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{\sinh x}{x} = 1 \displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{(1+x)^a-1}{x} = a
 \displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{\tanh x}{x} = 1 \displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{(1+x)^a-1}{ax} = 1

 

\displaystyle\lim_{f(x)\to 0} \frac{\sin f(x)}{x} = 1 \displaystyle\lim_{f(x)\to \pm\infty} {\left (1+\frac{1}{f(x)} \right )}^{f(x)}\! = e
\displaystyle\lim_{f(x)\to 0} \frac{\sin{af(x)}}{bf(x)} = \frac{a}{b} \displaystyle\lim_{f(x)\to \pm\infty} {\left (1+\frac{a}{f(x)} \right )}^{bf(x)}\! = e^{ab}
\displaystyle\lim_{f(x)\to 0} \frac{1-\cos{f(x)}}{f(x)} = 0 \displaystyle\lim_{f(x)\to \pm\infty} {\left (\frac{f(x)}{f(x)+1} \right )}^{f(x)}\! = \frac{1}{e}
\displaystyle\lim_{f(x)\to 0} \frac{1-\cos(f(x))}{f(x)^2} = \frac{1}{2} \displaystyle\lim_{f(x)\to 0} {\left ( 1 + af(x) \right ) }^{\frac{1}{f(x)}}\! = e^a
\displaystyle\lim_{f(x)\to 0} \frac{\tan f(x)}{f(x)} = 1 \displaystyle\lim_{f(x)\to 0} \frac{\log_a(1+f(x))}{f(x)} = \log_a e = \frac{1}{\ln a}
\displaystyle\lim_{f(x)\to 0}\frac{\arcsin f(x)}{f(x)} = 1 \displaystyle\lim_{f(x)\to 0} \frac{\ln(1+f(x))}{f(x)}\! = 1
\displaystyle\lim_{f(x)\to 0} \frac{\arctan f(x)}{f(x)} = 1 \displaystyle\lim_{f(x)\to 0} \frac{a^{f(x)}-1}{f(x)} = \ln a,\;\;a > 0
\displaystyle\lim_{f(x)\to 1} \frac{(\arccos f(x))^2}{1-f(x)} = 2  \displaystyle\lim_{f(x)\to 0} \frac{e^{f(x)}-1}{f(x)} = 1
 \displaystyle\lim_{f(x)\to 0} \frac{\sinh f(x)}{f(x)} = 1 \displaystyle\lim_{f(x)\to 0} \frac{(1+f(x))^a-1}{f(x)} = a
 \displaystyle\lim_{f(x)\to 0} \frac{\tanh f(x)}{f(x)} = 1 \displaystyle\lim_{f(x)\to 0} \frac{(1+f(x))^a-1}{af(x)} = 1

 

Formulario sugli integrali indefiniti




FORMULARIO SUGLI INTEGRALI

Integrai fondamentali Integrali notevoli
\displaystyle \int k \,\text{d}x = k\,x +c
\displaystyle \int x^n \,\text{d}x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} +c \displaystyle \int f(x)^n \cdot f'(x)\,\text{d}x = \frac{f(x)^{n + 1}}{n + 1} +c
\displaystyle \int \frac{1}{ x} \,\text{d}x = \ln |x| +c \displaystyle \int \frac{1}{ f(x)}\cdot f'(x) \,\text{d}x = \ln |f(x)| +c
\displaystyle \int a^x \,\text{d}x =\frac{a^x }{\ln a}+c \displaystyle \int a^{f(x)}\cdot f'(x)\,\text{d}x =\frac{a^{f(x)}}{\ln a}+c
\displaystyle \int e^x \,\text{d}x =e^x +c \displaystyle \int e^{f(x)}\cdot f'(x)\,\text{d}x =e^{f(x)} +c
\displaystyle \int \cos x \,\text{d}x = \sin x +c \displaystyle \int \cos f(x)\cdot f'(x) \,\text{d}x = \sin f(x) +c
\displaystyle \int \sin x \,\text{d}x = - \cos x +c \displaystyle \int \sin f(x)\cdot f'(x)\,\text{d}x = - \cos f(x) +c
\displaystyle \int \frac{1}{\cos^2 x} \,\text{d}x = \tan x +c \displaystyle \int \frac{1}{\cos^2 f(x)}\cdot f'(x) \,\text{d}x = \tan f(x) +c
\displaystyle \int \frac{1}{\sin^2 x} \,\text{d}x =-\cot x +c \displaystyle \int \frac{1}{\sin^2 f(x)}\cdot f'(x) \,\text{d}x = -\cot f(x) +c
\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\text{d}x\,=\arcsin{x} +c \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1-f(x)^2}}\cdot f'(x)\,\text{d}x=\arcsin{f(x)} +c
\displaystyle \int \frac{1}{1+x^2}\,\text{d}x\,=\arctan{x} +c \displaystyle \int \frac{1}{1+f(x)^2}\cdot f'(x)\,\text{d}x\,=\arctan{x} +c

Esercizi sulle derivate: derivata di una funzione composta - regola della catena




ESERCIZIO

Calcola la derivata della funzione composta \displaystyle y =[\ln{(x^4-2)}]^3.

SOLUZIONE

La funzione è del tipo \displaystyle f(g(h(x))) e la sua derivata è \displaystyle \mathrm{D}(f(g(h(x))))=f'(g(h(x)))\cdot g'(h(x))\cdot h'(x)

La derivata della funzione assegnata è

\displaystyle y'=3[\ln{(x^4-2)}]^2\cdot\frac{1}{x^4-2}\cdot4x^3

\displaystyle y'=\frac{12x^3\ln^2{(x^4-2)}}{x^4-2}.

Formulario sulle derivate




Regole di derivazione

Siano f(x) e g(x) funzioni reali di variabile reale x derivabili, e sia \mathrm{D} l'operazione di derivazione rispetto a x :

\mathrm{D}[f(x)]=f'(x) \qquad \mathrm{D}[g(x)]=g'(x)

\displaystyle D[af(x) + bg(x) ]=a\cdot f'(x) + b\cdot g'(x) Derivata della somma
 \displaystyle \mathrm{D}[{f(x) \cdot g(x)}] = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) Derivata del prodotto
 \mathrm{D}\! \displaystyle \left[ {f(x) \over g(x)} \right] = { f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x) \over (g(x))^2} Derivata del quoziente
 \mathrm{D}\!\displaystyle \left[ {1 \over f(x)} \right] = -{f'(x) \over (f(x))^2} Derivata della funzione reciproca
 \mathrm{D}\displaystyle \left[ f \left(g(x) \right)\right] = f' \left(g(x) \right) \cdot g'(x) Derivata delle funzioni composte
 \mathrm{D}\displaystyle\left[ f(x)^{g(x)} \right] = f(x)^{g(x)}\left[ g'(x)\ln(f(x)) + \frac{g(x)\cdot f'(x)}{f(x)} \right] Derivata della potenza

Derivate di funzioni elementari

Funzione Derivata
 \displaystyle y = k  \displaystyle y' = 0
 \displaystyle y = x^n  \displaystyle y'= n\,x^{(n-1)}
 \displaystyle y = x  \displaystyle y' = 1
 \displaystyle y = \frac{1}{x}=x^{-1}  \displaystyle y' = -\frac{1}{x^2}
 \displaystyle y = \sqrt{x}=x^\frac{1}{2}  \displaystyle y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}
 \displaystyle y = \sqrt[n]{x^m}=x^ \frac{m}{n}  \displaystyle y'= \frac{m}{n}\cdot x^{\frac{m}{n}-1}
 \displaystyle y=|x|  \displaystyle y' = \frac{|x|}{x}
 \displaystyle y=\log_a{x}  \displaystyle y'=\frac{1}{x}\log_a{e}=\frac{1}{x}\frac{1}{\ln{a}}
 \displaystyle y=\ln{x}  \displaystyle y'=\frac{1}{x}
 \displaystyle y=a^{x}  \displaystyle y'=a^{x}\ln{a}
 \displaystyle y=e^{x}  \displaystyle y'=e^{x}
 \displaystyle y=\sin{x}  \displaystyle y'=\cos{x}
 \displaystyle y=\cos{x}  \displaystyle y'=-\sin{x}
 \displaystyle y=\tan{x}  \displaystyle y'=\frac{1}{\cos^2{x}}=1+\tan^2{x}
 \displaystyle y=\cot{x}  \displaystyle y'=-\frac{1}{\sin^2{x}}=-(1+cotan^2{x})
 \displaystyle y=\arcsin{x}  \displaystyle y'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
 \displaystyle y=\arccos{x}  \displaystyle y'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
 \displaystyle y=\arctan{x}  \displaystyle y'=\frac{1}{1+x^2}
 \displaystyle y=arccot  x  \displaystyle y'=-\frac{1}{1+x^2}
 \displaystyle y=\sinh x  \displaystyle y'=\cosh x
 \displaystyle y=\cosh x  \displaystyle y'=\sinh x
 \displaystyle y=\tanh x  \displaystyle y'=1 - \tanh^2 x

 Derivate di funzioni composte

Funzione Derivata
 \displaystyle y =f(x)^n  \displaystyle y'= n\,f(x)^{(n-1)} \cdot f'(x)
 \displaystyle y=|f(x)|  \displaystyle y' = \frac{|f(x)|}{f(x)}\cdot f'(x)
 \displaystyle y=\ln{|f(x)|}  \displaystyle y'=\frac{1}{f(x)}\cdot f'(x)
 \displaystyle y=a^{f(x)}  \displaystyle y'=a^{f(x)}\ln{a}\cdot f'(x)
 \displaystyle y=e^{f(x)}  \displaystyle y'=e^{f(x)}\cdot f'(x)
 \displaystyle y=\sin{f(x)}  \displaystyle y'=\cos{f(x)}\cdot f'(x)
 \displaystyle y=\cos{f(x)}  \displaystyle y'=-\sin{f(x)}\cdot f'(x)
 \displaystyle y=\tan{f(x)}  \displaystyle y'=\frac{1}{\cos^2{f(x)}}\cdot f'(x)
 \displaystyle y=\cot{f(x)}  \displaystyle y'=-\frac{1}{\sin^2{f(x)}}\cdot f'(x)
 \displaystyle y=\arcsin{f(x)}  \displaystyle y'=\frac{1}{\sqrt{1-f(x)^2}}\cdot f'(x)
 \displaystyle y=\arccos{f(x)}  \displaystyle y'=-\frac{1}{\sqrt{1-f(x)^2}}
 \displaystyle y=\arctan{f(x)}  \displaystyle y'=\frac{1}{1+f(x)^2}\cdot f'(x)
 \displaystyle y=arccot  f(x)  \displaystyle y'=-\frac{1}{1+f(x)^2}\cdot f'(x)