Archivio Categoria: Limiti

Come risolvere limiti esponenziali da destra e da sinistra





COME RISOLVERE LIMITI ESPONENZIALI DA DESTRA E DA SINISTRA

ESERCIZIO

Calcola i seguenti limiti:

a) \displaystyle\lim_{x\to +3^-} e^\frac{2}{x^2-9}

b)  \displaystyle\lim_{x\to +3^+} e^\frac{2}{x^2-9}

c)  \displaystyle\lim_{x\to -3^-} e^\frac{2}{x^2-9}\!=

d)  \displaystyle\lim_{x\to -3^+} e^\frac{2}{x^2-9}\!

e)  \displaystyle\lim_{x\to +{\frac{1}{3}}^-} e^\frac{-2}{9x^2-1} \!

f)  \displaystyle\lim_{x\to +{\frac{1}{3}}^+} e^\frac{-2}{9x^2-1} \!

g)  \displaystyle\lim_{x\to -{\frac{1}{3}}^-} e^\frac{-2}{9x^2-1} \!

h)  \displaystyle\lim_{x\to -{\frac{1}{3}}^+} e^\frac{-2}{9x^2-1} \!

SOLUZIONE

a)  \displaystyle\lim_{x\to +3^-} e^\frac{2}{x^2-9}\!=e^\frac{2}{0^-}=e^{-\infty}=\frac{1}{e^{+\infty}}=\frac{1}{+\infty}=0

Sostituiamo al posto della x un numero minore di 3. La differenza tra un numero minore di 3 elevato al quadrato e 9 è un numero negativo prossimo a 0 (0^-).

b)  \displaystyle\lim_{x\to +3^+} e^\frac{2}{x^2-9}\!=e^\frac{2}{0^+}=e^{+\infty}=+\infty

Sostituiamo al posto della x un numero maggiore di 3. La differenza tra un numero maggiore di 3 elevato al quadrato e 9 è un numero positivo prossimo a 0 (0^+).

c)  \displaystyle\lim_{x\to -3^-} e^\frac{2}{x^2-9}\!=e^\frac{2}{0^+}=e^{+\infty}=+\infty

Sostituiamo al posto della x un numero minore di -3. La differenza tra un numero minore di -3 elevato al quadrato e  9 è un numero positivo prossimo a 0 (0^+).

d)  \displaystyle\lim_{x\to -3^+} e^\frac{2}{x^2-9}\!=e^\frac{2}{0^-}=e^{-\infty}=\frac{1}{e^{+\infty}}=\frac{1}{+\infty}=0

Sostituiamo al posto della x un numero maggiore di -3. La differenza tra un numero maggiore di -3 elevato al quadrato e 9 è un numero negativo prossimo a 0 (0^-).

e) \displaystyle\lim_{x\to +{\frac{1}{3}}^-} e^\frac{-2}{9x^2-1} \!=e^\frac{-2}{0^-}=e^{+\infty}=+\infty

Sostituiamo  al posto della x un numero minore di \frac{1}{3}. Poi, moltiplicando per 9 il quadrato di un numero minore di \frac{1}{3}, otteniamo un numero minore di 1. La differenza tra quest'ultimo e 1 è un numero negativo prossimo a 0 (0^-).

f)  \displaystyle\lim_{x\to +{\frac{1}{3}}^+} e^\frac{-2}{9x^2-1}=e^\frac{-2}{0^+}=e^{-\infty}=\frac{1}{e^{+\infty}}=\frac{1}{+\infty}=0

Sostituiamo al posto della x un numero maggiore di \frac{1}{3}. Poi, moltiplicando per 9 il quadrato di un numero maggiore di \frac{1}{3}, otteniamo un numero maggiore di 1. La differenza tra quest'ultimo e 1 è un numero positivo prossimo a 0 (0^+).

g)  \displaystyle\lim_{x\to -{\frac{1}{3}}^-} e^\frac{-2}{9x^2-1} \!=e^\frac{-2}{0^+}=e^{-\infty}=\frac{1}{e^{+\infty}}=\frac{1}{+\infty}=0

Sostituiamo al posto della x un numero minore di -\frac{1}{3}. Poi, moltiplicando per 9 il quadrato di un numero minore di -\frac{1}{3}, otteniamo un numero maggiore di 1. La differenza tra quest'ultimo e 1 è un numero positivo prossimo a 0 (0^+).

h) \displaystyle\lim_{x\to -{\frac{1}{3}}^+} e^\frac{-2}{9x^2-1} \!=e^\frac{-2}{0^-}=e^{+\infty}=+\infty

Sostituiamo al posto della x un numero maggiore di -\frac{1}{3}. Poi, moltiplicando per 9 il quadrato di un numero maggiore di -\frac{1}{3}, otteniamo un numero minore di 1. La differenza tra quest'ultimo e 1 è un numero negativo prossimo a 0 (0^-).

Formulario sui limiti notevoli





TAVOLA SUI LIMITI NOTEVOLI

\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \displaystyle\lim_{x\to \pm\infty} {\left (1+\frac{1}{x} \right )}^x\! = e
\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{\sin{ax}}{bx} = \frac{a}{b} \displaystyle\lim_{x\to \pm\infty} {\left (1+\frac{a}{x} \right )}^{bx}\! = e^{ab}
\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos{x}}{x} = 0 \displaystyle\lim_{x\to \pm\infty} {\left (\frac{x}{x+1} \right )}^x\! = \frac{1}{e}
\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2} \displaystyle\lim_{x\to 0} {\left ( 1 + ax \right ) }^{\frac{1}{x}}\! = e^a
\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{\tan x}{x} = 1 \displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{\log_a(1+x)}{x} = \log_a e = \frac{1}{\ln a}
\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\arcsin x}{x} = 1 \displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x)}{x}\! = 1
\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{\arctan x}{x} = 1 \displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{a^x-1}{x} = \ln a,\;\;a > 0
\displaystyle\lim_{x\to 1} \frac{(\arccos x)^2}{1-x} = 2  \displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1
 \displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{\sinh x}{x} = 1 \displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{(1+x)^a-1}{x} = a
 \displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{\tanh x}{x} = 1 \displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{(1+x)^a-1}{ax} = 1

 

\displaystyle\lim_{f(x)\to 0} \frac{\sin f(x)}{x} = 1 \displaystyle\lim_{f(x)\to \pm\infty} {\left (1+\frac{1}{f(x)} \right )}^{f(x)}\! = e
\displaystyle\lim_{f(x)\to 0} \frac{\sin{af(x)}}{bf(x)} = \frac{a}{b} \displaystyle\lim_{f(x)\to \pm\infty} {\left (1+\frac{a}{f(x)} \right )}^{bf(x)}\! = e^{ab}
\displaystyle\lim_{f(x)\to 0} \frac{1-\cos{f(x)}}{f(x)} = 0 \displaystyle\lim_{f(x)\to \pm\infty} {\left (\frac{f(x)}{f(x)+1} \right )}^{f(x)}\! = \frac{1}{e}
\displaystyle\lim_{f(x)\to 0} \frac{1-\cos(f(x))}{f(x)^2} = \frac{1}{2} \displaystyle\lim_{f(x)\to 0} {\left ( 1 + af(x) \right ) }^{\frac{1}{f(x)}}\! = e^a
\displaystyle\lim_{f(x)\to 0} \frac{\tan f(x)}{f(x)} = 1 \displaystyle\lim_{f(x)\to 0} \frac{\log_a(1+f(x))}{f(x)} = \log_a e = \frac{1}{\ln a}
\displaystyle\lim_{f(x)\to 0}\frac{\arcsin f(x)}{f(x)} = 1 \displaystyle\lim_{f(x)\to 0} \frac{\ln(1+f(x))}{f(x)}\! = 1
\displaystyle\lim_{f(x)\to 0} \frac{\arctan f(x)}{f(x)} = 1 \displaystyle\lim_{f(x)\to 0} \frac{a^{f(x)}-1}{f(x)} = \ln a,\;\;a > 0
\displaystyle\lim_{f(x)\to 1} \frac{(\arccos f(x))^2}{1-f(x)} = 2  \displaystyle\lim_{f(x)\to 0} \frac{e^{f(x)}-1}{f(x)} = 1
 \displaystyle\lim_{f(x)\to 0} \frac{\sinh f(x)}{f(x)} = 1 \displaystyle\lim_{f(x)\to 0} \frac{(1+f(x))^a-1}{f(x)} = a
 \displaystyle\lim_{f(x)\to 0} \frac{\tanh f(x)}{f(x)} = 1 \displaystyle\lim_{f(x)\to 0} \frac{(1+f(x))^a-1}{af(x)} = 1

 

Classificazione dei punti di discontinuità





ESERCIZIO

Classifica le discontinuità della funzione \displaystyle f(x)=\frac {x^3-2x}{x-5}.

SOLUZIONE

Le condizioni di esistenza sono x-5\neq 0x\neq 5.

I limiti destro e sinistro in 5 valgono \displaystyle \lim_{x\rightarrow 5^+}\frac {x^3-2x}{x-5}=\frac {115}{0^+}=+\infty\displaystyle \lim_{x\rightarrow 5^-}\frac {x^3-2x}{x-5}=\frac {115}{0^-}=-\infty.

La funzione quindi, presenta un punto di discontinuità di seconda specie in 5.

Formulario sulla definizione di limite

Limite finito l per x che tende a un numero finito x_0

\displaystyle\lim_{x \to x_0}f(x) = l

se \displaystyle\forall \varepsilon > 0\;\; \exists \delta>0\; :\; 0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-l|<\varepsilon

Limite +\infty per x che tende a un numero finito x_0

\displaystyle\lim_{x \to x_0}f(x) = +\infty

se \displaystyle \forall N > 0\;\; \exists \delta>0\; :\; 0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x)>N

Limite -\infty per x che tende a un numero finito x_0

\displaystyle\lim_{x \to x_0}f(x) = -\infty

se \displaystyle \forall N > 0\;\; \exists \delta>0\; :\; 0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x)<-N

Limite finito l per x che tende a +\infty

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x) = l

se \displaystyle \forall \varepsilon > 0\;\; \exists S>0\; :\; x>S \Rightarrow |f(x)-l| < \varepsilon

Limite finito l per x che tende a -\infty

\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x) = l

se \displaystyle \forall \varepsilon > 0\;\; \exists S>0\; :\; x<-S \Rightarrow |f(x)-l| < \varepsilon

Limite +\infty  per x che tende a +\infty

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x) = +\infty

se \displaystyle \forall N > 0\;\; \exists S>0\; :\; x>S \Rightarrow f(x)>N

Limite +\infty  per x che tende a -\infty

\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x) = +\infty

se \displaystyle \forall N > 0\;\; \exists S>0\; :\; x<-S \Rightarrow f(x)>N

Limite -\infty  per x che tende a +\infty

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x) = -\infty

se \displaystyle \forall N > 0\;\; \exists S>0\; :\; x>S \Rightarrow f(x)<-N

Limite -\infty  per x che tende a -\infty

\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x) = -\infty

se \displaystyle \forall N > 0\;\; \exists S>0\; :\; x<-S \Rightarrow f(x)<-N

Esercizi sui limiti: limite notevole con tangente

ESERCIZIO

Calcola il seguente limite:

\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi}\frac{\tan(x)}{\pi-x}.

SOLUZIONE

Utilizziamo il limite notevole \displaystyle \lim_{f(x)\rightarrow 0}\frac{\tan(f(x))}{f(x)}=1. Sappiamo che \tan(x)=-\tan(\pi - x), quindi  \displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi}\frac{-\tan(\pi-x)}{\pi-x}=-1

Calcolo dei limiti: forma indeterminata infinito/infinito

ESERCIZIO

Calcola il seguente limite:

1. \displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{x^4+3x^3+2x}{x^3-5x^2+3};

SOLUZIONE

Sostituiamo \displaystyle\infty alla funzione e otteniamo la forma indeterminata \displaystyle\frac{\infty}{\infty}. Per risolvere la forma indeterminata raccogliamo il monomio di grado maggiore sia al numeratore che al denominatore:

\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{x^4(1+3/x+2/x^3)}{x^3(1-5/x+3/x^3)}.

Osserviamo che per \displaystyle x\rightarrow \infty, 3/x, 2/x^3, 5/x, 3/x^3 tendono a 0 quindi,

\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{x^4}{x^3}=\lim_{x\rightarrow \infty} x=\infty.

Esercizi sui limiti notevoli

ESERCIZIO

Calcola i seguenti limiti

1. \displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\left (1+\frac{2}{3x}\right)^{5x}.

2. \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{5\sin(3x)}{7x}

SOLUZIONE

Per risolvere i limiti proposti applichiamo la formula \displaystyle \lim_{f(x)\rightarrow +\infty}\left (1+\frac{1}{f(x)}\right)^{f(x)}=e.

1. Effettuando opportune operazioni, otteniamo
\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\left (1+\frac{2}{3x}\right)^{5x}=\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\left[\left (1+\frac{1}{\frac{3}{2}x}\right)^{\frac{3}{2}x}\right]^{\frac{10}{3}}=e^{\frac{10}{3}}.

2. Effettuando opportune operazioni, otteniamo

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{5\sin(3x)}{7x}=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{15}{7}\frac{\sin(3x)}{3x}=\frac{15}{7}\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(3x)}{3x}=\frac{15}{7}.