Archivio Categoria: Aritmetica

Criteri di divisibilità

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criteri di divisibilità vengono utilizzati per stabilire se un numero naturale n è divisibile per un altro numero naturale m senza eseguire la divisione. Quando si deve, invece, fattorizzare un numero naturale n utilizzeremo i criteri di divisibilità in cui il divisore è un numero primo.

Divisibilità per 2

Un numero è divisibile per 2 se termina con zero o una cifra pari.

ESEMPI: 24, 80, 1234, 200.

Divisibilità per 3

Un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è un multiplo di 3.

ESEMPI: 24, 7200.

- 24 è divisibile per 3 perché la somma delle sue cifre è 6.

- 7200 è divisibile per 3 perché la somma delle sue cifre è 9.

Divisibilità per 4

Un numero è divisibile per 4 se le ultime due cifre sono 0 oppure formano un numero multiplo di 4.

ESEMPI: 300, 120, 7200.

Divisibilità per 5

Un numero è divisibile per 5  se la sua ultima cifra è 0 o 5.

ESEMPI: 300, 125, 7205.

Divisibilità per 6

Un numero è divisibile per 6 se è divisibile contemporaneamente per 2 e per 3.

ESEMPI: 300, 120, 720.

Divisibilità per 7

Un numero con più di due cifre è divisibile per se la differenza del numero ottenuto escludendo la cifra delle unità e il doppio della cifra delle unità è 0 o un multiplo di 7.

ESEMPI: 175

- 175 è divisibile per 7 perché 17-2x5=7.

Divisibilità per 9

Un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre è un multiplo di 9.

ESEMPI: 171, 1800.

- 171 è divisibile per 9 perché la somma delle sue cifre è 9.

Divisibilità per 10

Un numero è divisibile per 10 se la sua ultima cifra è 0.

ESEMPI: 100, 190.

Divisibilità per 11

Un numero è divisibile per 11 se la differenza fra la somma delle cifre di posto pari e la somma delle cifre di posto dispari è 0 o un multiplo di 11.

ESEMPI: 121.

-121 è divisibile per 11 perché 2-2=0.

Divisibilità per 12

Un numero è divisibile per 12 se è contemporaneamente divisibile sia per 3 sia per 4.

ESEMPI: 336, 1704.

Divisibilità per 13

Un numero è divisibile per 13 quando la somma tra il numero senza l’ultima cifra e il quadruplo di quest’ultima è un multiplo di tredici.

ESEMPI: 338.

- 338 è divisibile per 13 perché 33+4x8=65=6+4x5=26.

Divisibilità per 17

Un numero con più di due cifre è divisibile per 17 se la differenza, fra il numero ottenuto eliminando la cifra delle unità e il quintuplo della cifra delle unità è 0 o un multiplo di 17.

ESEMPI: 1462.

- 1462 è divisibile per 17 perché 146-5x2=136=13-5x6=|-17|=17.

Divisibilità per 19

Un numero è divisibile per 19 quando la somma tra il numero senza l’ultima cifra e il doppio di quest’ultima è un multiplo di diciannove.

ESEMPI: 133.

- 133 è divisibile per 19 perché 13+2x3=19.

Divisibilità per 25

Un numero è divisibile per 25  se il numero formato dalle ultime 2 cifre è divisibile per 25.

ESEMPI: 175, 1825.

Divisibilità per 100

Un numero è divisibile per 100 se le ultime due cifre sono 0.

ESEMPI: 1000, 1800.

Proprietà delle potenze


Prodotto di potenze con la stessa base

\displaystyle a^m \cdot a^n=a^{m+n}

Quoziente di potenze con la stessa base

\displaystyle\frac{a^m }{a^n}=a^{m-n}

Potenza di potenza

\displaystyle \left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}

Prodotto di potenze con lo stesso esponente

\displaystyle a^n \cdot b^n=(a\cdot b)^n

Quoziente di potenze con lo stesso esponente

\displaystyle\frac{a^n}{ b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n

Potenza con esponente negativo

\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^n}

\displaystyle \left(\frac{a}{ b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{ a}\right)^{n}

 ESEMPI

1) \displaystyle 2^3 \cdot 2^5=2^{3+5}=2^8

2) \displaystyle 2^7:2^5=2^{7-5}=2^{2}

3) \displaystyle \left(2^7\right)^3=2^{7\cdot 3}=2^{21}

4) \displaystyle 5^4 \cdot 2^4=(5\cdot 2)^4=10^4

5) \displaystyle 25^4:5^4=(25: 5)^4=5^4

6) \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^5= \left(\frac{2}{3}\right)^{3+5}= \left(\frac{2}{3}\right)^8

7) \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^7: \left(\frac{2}{3}\right)^5= \left(\frac{2}{3}\right)^{7-5}= \left(\frac{2}{3}\right)^{2}

8) \displaystyle \left[ \left(\frac{2}{3}\right)^7\right]^3= \left(\frac{2}{3}\right)^{7\cdot 3}= \left(\frac{2}{3}\right)^{21}

9) \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^4 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^4= \left(\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}\right)^4= \left(\frac{1}{2}\right)^4

10) \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^4:\left(\frac{8}{3}\right)^4=\left(\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{8}\right)^4=\left(\frac{1}{4}\right)^4

11) \displaystyle\frac{16^5}{ 8^5}=\left(\frac{16}{8}\right)^5=2^5

12) \displaystyle\left(\frac{5}{ 3}\right)^{-2}=\left(\frac{3}{ 5}\right)^{+2}=\frac{9}{25}

13) \displaystyle 2^7:2^9=2^{7-9}=2^{-2}=\left(\frac{1}{2}\right)^2

14) \displaystyle 2^{-2}\cdot2^{-3}=2^{-2-3}=2^{-5}=\left(\frac{1}{2}\right)^{5}

15) \displaystyle 2^{-2}:2^{-3}=2^{-2-(-3)}=2^{-2+3}=2

16) \displaystyle \left(-\frac{2}{3}\right)^{10} \cdot \left(+\frac{2}{3}\right)^8=\left(+\frac{2}{3}\right)^{10} \cdot \left(+\frac{2}{3}\right)^8=\left(+\frac{2}{3}\right)^{18}

17)  \displaystyle \left(-\frac{2}{3}\right)^{11} \cdot \left(+\frac{2}{3}\right)^8=-\left(+\frac{2}{3}\right)^{11} \cdot \left(+\frac{2}{3}\right)^8=-\left(+\frac{2}{3}\right)^{19}

18) \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{10}\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^8=\left(\frac{2}{3}\right)^{10}\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{-8}=\left(\frac{2}{3}\right)^{10-8}=\left(\frac{2}{3}\right)^{2}

Somma dei primi numeri naturali


Consideriamo n=6
Rappresentiamo i numeri naturali con delle palline arancioni che disponiamo in modo tale da formare un triangolo rettangolo. Poi, traslando il triangolo, otteniamo un rettangolo formato complessivamente da (6+1)\cdot 6=42 palline, quindi la somma dei primi 6 numeri naturali è 42:2=21. Seguendo lo stesso ragionamento, per n numeri naturali otteniamo la formula \displaystyle S_n=\frac{n\cdot(n+1)}{2}.
somma_naturali

Consideriamo n=12

\displaystyle N=\lbrace 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\rbrace

Ci si può accorgere facilmente che ci sono 6 coppie di numeri la cui somma dà come risultato 13:

12+1=13

11+2=13

10+3=13

9+4=13

8+5=13

7+6=13

quindi, per ottenere la somma dei primi 12 numeri naturali, moltiplichiamo 13\cdot 6=78.

Se n=12, (n+1)=13 e \frac{n}{2}=6, possiamo generalizzare e scrivere la formula

\displaystyle S_n=\frac{n\cdot(n+1)}{2}.

Per n=100

La somma dei primi 100 numeri naturali è:

\displaystyle S_{100}=\frac{100\cdot(100+1)}{2}=\frac{100\cdot(101)}{2}=5050.

Per n=1000

La somma dei primi 1000 numeri naturali è:

\displaystyle S_{1000}=\frac{1000\cdot(1000+1)}{2}=\frac{1000\cdot(1001)}{2}=500500.

Esercizi sulle frazioni generatrici




DAL NUMERO PERIODICO SEMPLICE ALLA FRAZIONE GENERATRICE

a)\displaystyle 2,\overline{3}=\frac{23-2}{9}=\frac{21}{9}=\frac{7}{3}

Al numeratore abbiamo la differenza tra il numero intero, privato della virgola e della linea del periodo (23, e il numero intero formato dalle cifre che non fanno parte del periodo (2), mentre al denominatore abbiamo un 9, visto che il periodo è formato da una cifra.

b) \displaystyle 2,\overline{35}=\frac{235-2}{99}=\frac{233}{99}

Al numeratore abbiamo la differenza tra il numero intero, privato della virgola e della linea del periodo (235), e il numero intero formato dalle cifre che non fanno parte del periodo (2), mentre al denominatore abbiamo due  9, visto che il periodo è formato da due cifre.

c)\displaystyle 12,\overline{35}=\frac{1235-12}{99}=\frac{1223}{99}

Al numeratore abbiamo la differenza tra il numero intero, privato della virgola e della 1235), e il numero intero formato dalle cifre che non fanno parte del periodo (12), mentre al denominatore abbiamo due 9, visto che il periodo è formato da due cifre.

DAL NUMERO PERIODICO MISTO ALLA FRAZIONE GENERATRICE

a)\displaystyle 2,1\overline{3}=\frac{213-21}{90}=\frac{192}{90}=\frac{32}{15}

Al  numeratore abbiamo la differenza tra il numero intero, privato della virgola e della linea del periodo (213), e il numero intero formato dalle cifre che non fanno parte del periodo (21), mentre al denominatore abbiamo un 9, visto che il periodo è formato da una cifra, e uno 0, visto che l'antiperiodo è formato da una cifra.

b)\displaystyle 2,12\overline{31}=\frac{21231-212}{9900}=\frac{21019}{9900}

Al numeratore abbiamo la differenza tra il numero intero, privato della virgola e della linea del periodo (21231), e il numero intero formato dalle cifre che non fanno parte del periodo (212), mentre al denominatore abbiamo due 9, visto che il periodo è formato da due cifre, e due 0, visto che l'antiperiodo è formato da due cifre.

c)\displaystyle 2,01\overline{3}=\frac{2013-201}{900}=\frac{1812}{900}=\frac{151}{75}

Al numeratore abbiamo la differenza tra il numero intero, privato della virgola e della linea del periodo (2013), e il numero intero formato dalle cifre che non fanno parte del periodo (201), mentre al denominatore abbiamo un 9, visto che il periodo è formato da una cifra, e due 0, visto che l'antiperiodo è formato da due cifre.

Esercizio sui cambiamenti di base


CAMBIAMENTI DI BASE

Da base qualunque a base 10

a)A243_{14}=X_{10}

A243_{14}=10\cdot 14^3+2\cdot 14^2+4\cdot 14^1+3\cdot 14^0=27891_{10}

b)243_{9}=X_{10}

4243_{9}=4\cdot 9^3+2\cdot 9^2+4\cdot 9^1+3\cdot 9^0=3117_{10}

c)101_{2}=X_{10}

\displaystyle 1101_{2}=1\cdot 2^3+1\cdot 2^2+0\cdot 1^1+1\cdot 2^0=13_{10}

Da base 10 a base qualunque

a)2579_{10}=X_{16}

si eseguono le seguenti divisioni:

2579:16=161

resto 3

161:16=10

resto 1

10:16=0

resto 10

si scrivono i resti, partendo dall'ultima divisione: A13_{16}

b)2579_{10}=X_{14}

si eseguono le seguenti divisioni:

2579:14=184

resto 3

184:14=13

resto 2

13:14=0

resto 13

si scrivono i resti, partendo dall'ultima divisione: D23_{14}

Da base qualunque a base 10

a) A243_{14}=X_{10}

A243_{14}=10\cdot 14^3+2\cdot 14^2+4\cdot 14^1+3\cdot 14^0=27891_{10}

b) 4243_{9}=X_{10}

4243_{9}=4\cdot 9^3+2\cdot 9^2+4\cdot 9^1+3\cdot 9^0=3117_{10}

c) 1101_{2}=X_{10}

1101_{2}=1\cdot 2^3+1\cdot 2^2+0\cdot 1^1+1\cdot 2^0=13_{10}

Da base 10 a base qualunque

a) 2579_{10}=X_{16}

si eseguono le seguenti divisioni:

2579:16=161  resto 3

161:16=10 resto 1

10:16=0 resto 10

si scrivono i resti partendo dall'ultima divisione A13_{16}

b) 2579_{10}=X_{14}

si eseguono le seguenti divisioni:

2579:14=184  resto 3

184:14=13 resto 2

13:14=0 resto 13

si scrivono i resti partendo dall'ultima divisione D23_{14}