Archivio Categoria: Formulari di matematica

Formulario sui prodotti notevoli

Un prodotto notevole è un'identità che compare spesso nel calcolo letterale, in particolare per effettuare velocemente il prodotto e le potenze di polinomi di forme particolari.

Quadrato di un binomio

\displaystyle (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

\displaystyle (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Quadrato di un trinomio

\displaystyle (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc

Somma per differenza

\displaystyle (a + b)(a - b) = a^2 - b^2

Cubo di un binomio

\displaystyle (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

\displaystyle (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3

Somma di due cubi

\displaystyle a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

Differenza di due cubi

\displaystyle a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

Formulario di calcolo combinatorio


FORMULARIO DI CALCOLO COMBINATORIO

Fattoriale di n o n-fattoriale ({n!}) {n!}=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4 \cdot \dots \cdot n

{0!}=1

{1!}=1

{(n+1)!}=(n+1){n!}

Permutazioni semplici di n oggetti (si tiene conto dell'ordine) \displaystyle P_n={n!}
Permutazioni con ripetizione di n oggetti di tipo k_1, k_2, \cdots, k_m (si tiene conto dell'ordine e gli elementi si possono ripetere), con n=k_1 + k_2 + \cdots + k_m \displaystyle P^r_{n, k_1, k_2, \cdots, k_m}=\frac{n!}{k_1!\cdot k_2!\cdot \dots \cdot k_m!}
Disposizioni semplici di n oggetti presi k a k (si tiene conto dell'ordine), con 0\leq k \leq n \displaystyle D_{n,k}=\frac{n!}{(n-k)!}
Disposizioni con ripetizione di n oggetti presi k a k (si tiene conto dell'ordine e gli elementi si possono ripetere) \displaystyle D^r_{n,k}=n^k
Combinazioni semplici di n oggetti presi k a k  (non si tiene conto dell'ordine), con 0\leq k \leq n  \displaystyle C_{n,k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}
Combinazioni con ripetizione di n oggetti presi k a k (non si tiene conto dell'ordine e gli elementi si possono ripetere) \displaystyle C^r_{n,k}=C_{n+k-1, k}=\frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}

Formulario sugli integrali indefiniti




FORMULARIO SUGLI INTEGRALI

Integrai fondamentali Integrali notevoli
\displaystyle \int k \,\text{d}x = k\,x +c
\displaystyle \int x^n \,\text{d}x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} +c \displaystyle \int f(x)^n \cdot f'(x)\,\text{d}x = \frac{f(x)^{n + 1}}{n + 1} +c
\displaystyle \int \frac{1}{ x} \,\text{d}x = \ln |x| +c \displaystyle \int \frac{1}{ f(x)}\cdot f'(x) \,\text{d}x = \ln |f(x)| +c
\displaystyle \int a^x \,\text{d}x =\frac{a^x }{\ln a}+c \displaystyle \int a^{f(x)}\cdot f'(x)\,\text{d}x =\frac{a^{f(x)}}{\ln a}+c
\displaystyle \int e^x \,\text{d}x =e^x +c \displaystyle \int e^{f(x)}\cdot f'(x)\,\text{d}x =e^{f(x)} +c
\displaystyle \int \cos x \,\text{d}x = \sin x +c \displaystyle \int \cos f(x)\cdot f'(x) \,\text{d}x = \sin f(x) +c
\displaystyle \int \sin x \,\text{d}x = - \cos x +c \displaystyle \int \sin f(x)\cdot f'(x)\,\text{d}x = - \cos f(x) +c
\displaystyle \int \frac{1}{\cos^2 x} \,\text{d}x = \tan x +c \displaystyle \int \frac{1}{\cos^2 f(x)}\cdot f'(x) \,\text{d}x = \tan f(x) +c
\displaystyle \int \frac{1}{\sin^2 x} \,\text{d}x =-\cot x +c \displaystyle \int \frac{1}{\sin^2 f(x)}\cdot f'(x) \,\text{d}x = -\cot f(x) +c
\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\text{d}x\,=\arcsin{x} +c \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1-f(x)^2}}\cdot f'(x)\,\text{d}x=\arcsin{f(x)} +c
\displaystyle \int \frac{1}{1+x^2}\,\text{d}x\,=\arctan{x} +c \displaystyle \int \frac{1}{1+f(x)^2}\cdot f'(x)\,\text{d}x\,=\arctan{x} +c

Formulario sulle disequazioni irrazionali


DISEQUAZIONI IRRAZIONALI DI INDICE PARI

1° caso \displaystyle\sqrt[n]{f(x)} \geq g(x)

la disequazione è equivalente all'unione dei sistemi:

\left\{ \begin{matrix}g(x) \geq 0 \\ f(x) \geq [g(x)]^n \end{matrix} \right. \vee\;  \left\{ \begin{matrix}f(x) \geq 0 \\g(x)< 0\end{matrix}\right.

2° caso \displaystyle\sqrt[n]{f(x)} \leq g(x)

la disequazione è equivalente al sistema:

\left\{ \begin{matrix}g(x) \geq 0 \\f(x)\geq 0 \\f(x) \leq [g(x)]^n \end{matrix} \right.

ESERCIZIO

\sqrt{x^2+5} > x+1

SOLUZIONE

Ci troviamo nel 1° caso, quindi la disequazione è equivalente a:

\left\{ \begin{matrix}x+1\geq 0\\x^2+5>(x+1)^2 \end{matrix} \right. \vee\ \left\{ \begin{matrix}x^2+5\geq 0\\x+1 < 0 \end{matrix} \right.

\left\{ \begin{matrix}x\geq -1\\x<4 \end{matrix} \right. \vee\ \left\{ \begin{matrix}\forall x\in \mathbb{R}\\x < -1 \end{matrix} \right.

La soluzione del primo sistema è S_1=\lbrace x\in \mathbb{R}: -1\leq x<4\rbrace, la soluzione del secondo sistema è S_2=\lbrace x\in \mathbb{R}: x<-1\rbrace. La soluzione finale è S=\lbrace x\in \mathbb{R}: x<4\rbrace.

 ESERCIZIO

\sqrt{x^2+3} < x+1

SOLUZIONE

Ci troviamo nel 2° caso, quindi la disequazione è equivalente a:

\left\{ \begin{matrix}x+1\geq 0\\x^2+3\geq 0\\x^2+3<(x+1)^2 \end{matrix} \right.

\left\{ \begin{matrix}x\geq -1\\\forall x\in \mathbb{R}\\x>1 \end{matrix} \right.

La soluzione del sistema è S=\lbrace x\in \mathbb{R}: x>1\rbrace.

DISEQUAZIONI IRRAZIONALI DI INDICE DISPARI

Per risolvere le disequazioni irrazionali di indice pari non si devono imporre condizioni di esistenza e non occorre impostare una discussione. Esse si risolvono, a prescindere dal verso della disequazione, elevando entrambi i membri alla n.

\displaystyle\sqrt[n]{f(x)} \geq g(x) la disequazione è equivalente a: \displaystyle f(x) \geq [g(x)]^n

\displaystyle\sqrt[n]{f(x)} \leq g(x) la disequazione è equivalente a: \displaystyle f(x) \leq [g(x)]^n

ESERCIZIO

\displaystyle\sqrt[3]{x-3} \geq x+1

SOLUZIONE

\displaystyle x^3+3x^2\geq (x+1)^3

\displaystyle x^3+3x^2\geq x^3+3x^2+3x+1

\displaystyle x\leq -\frac{1}{3}

La soluzione della disequazione è S=\lbrace x\in \mathbb{R}: x\leq -\frac{1}{3}\rbrace.

 

Formulario sulla definizione di limite

Limite finito l per x che tende a un numero finito x_0

\displaystyle\lim_{x \to x_0}f(x) = l

se \displaystyle\forall \varepsilon > 0\;\; \exists \delta>0\; :\; 0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-l|<\varepsilon

Limite +\infty per x che tende a un numero finito x_0

\displaystyle\lim_{x \to x_0}f(x) = +\infty

se \displaystyle \forall N > 0\;\; \exists \delta>0\; :\; 0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x)>N

Limite -\infty per x che tende a un numero finito x_0

\displaystyle\lim_{x \to x_0}f(x) = -\infty

se \displaystyle \forall N > 0\;\; \exists \delta>0\; :\; 0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x)<-N

Limite finito l per x che tende a +\infty

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x) = l

se \displaystyle \forall \varepsilon > 0\;\; \exists S>0\; :\; x>S \Rightarrow |f(x)-l| < \varepsilon

Limite finito l per x che tende a -\infty

\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x) = l

se \displaystyle \forall \varepsilon > 0\;\; \exists S>0\; :\; x<-S \Rightarrow |f(x)-l| < \varepsilon

Limite +\infty  per x che tende a +\infty

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x) = +\infty

se \displaystyle \forall N > 0\;\; \exists S>0\; :\; x>S \Rightarrow f(x)>N

Limite +\infty  per x che tende a -\infty

\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x) = +\infty

se \displaystyle \forall N > 0\;\; \exists S>0\; :\; x<-S \Rightarrow f(x)>N

Limite -\infty  per x che tende a +\infty

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x) = -\infty

se \displaystyle \forall N > 0\;\; \exists S>0\; :\; x>S \Rightarrow f(x)<-N

Limite -\infty  per x che tende a -\infty

\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x) = -\infty

se \displaystyle \forall N > 0\;\; \exists S>0\; :\; x<-S \Rightarrow f(x)<-N