Archivio Categoria: Geometria per le superiori

Rotazione di centro O e angolo \alpha

Rotazione di centro O e angolo \displaystyle\alpha

Omotetia inversa di centro O e rapporto k

Omotetia inversa di centro O e rapporto k

Omotetia diretta di centro O e rapporto k

Omotetia diretta di centro O e rapporto k.

Dimostrazione del teorema di Pitagora

Teorema di Talete

Un fascio di rette parallele determina su due trasversali due classi di segmenti direttamente proporzionali.

Teorema di Talete

Triangolo inscritto in una semicirconferenza

Il triangolo inscritto in una semicirconferenza è rettangolo.

Criteri di similitudine dei triangoli





Schermata 2018-12-10 alle 17.46.20

PRIMO CRITERIO DI SIMILITUDINE

Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti.

SECONDO CRITERIO DI SIMILITUDINE

Due triangoli sono simili se hanno due lati in proporzione e l'angolo fra essi compreso congruente.

TERZO CRITERIO DI SIMILITUDINE

Due triangoli sono simili se hanno i tre lati corrispondenti in proporzione.

Teoremi di Euclide


Schermata 2019-01-17 alle 17.30.25PRIMO TEOREMA DI EUCLIDE

I triangoli rettangoli ABC e ACH hanno gli angoli rispettivamente congruenti, pertanto essi sono simili per il primo criterio di similitudine. Essendo simili, hanno i lati omologhi in proporzione, quindi possiamo scrivere:

AB:AC=AC:AH

AC^2=AB \cdot AH

I triangoli rettangoli ABC e CBH hanno gli angoli rispettivamente congruenti, pertanto essi sono simili per il primo criterio di similitudine. Essendo simili, hanno i lati omologhi in proporzione, quindi possiamo scrivere:

AB:BC=BC:BH

BC^2=AB \cdot HB

Significato geometrico

Schermata 2019-01-17 alle 16.53.59

SECONDO TEOREMA DI EUCLIDE

I triangoli rettangoli ACH e CBH hanno gli angoli rispettivamente congruenti, pertanto essi sono simili per il primo criterio di similitudine. Essendo simili, hanno i lati omologhi in proporzione, quindi possiamo scrivere:

AH:CH=CH:BH

CH^2=AH \cdot BH

Significato geometrico

Schermata 2019-01-17 alle 17.19.22

Dimostrazione di geometria (criteri di congruenza dei triangoli)





Ipotesi

\overline{AB}\cong\overline{AC}

\overline{AM}\cong\overline{MB}\cong\overline{AN}\cong\overline{NC}

\overline{MT}\cong\overline{NS}

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Tesi

1) \overline{CM}\cong\overline{BN}

2) \overline{MO}\cong\overline{NO}

3) \overline{TB}\cong\overline{SC}

4) \overline{TA}\cong\overline{SA}

Dimostrazione tesi \overline{CM}\cong\overline{BN}.

Considero i triangoli C\overset{\triangle}{M}BC\overset{\triangle}{N}B. Essi hanno:

\overline{MB}\cong\overline{NC} per ipotesi;

\overline{BC} in comune;

A\widehat{B}C \cong B\widehat{C}A per il teorema diretto del triangolo isoscele;

I triangoli sono congruenti per il primo criterio di congruenza. In particolare \overline{CM}\cong\overline{BN}.

geom2

Dimostrazione tesi \overline{MO}\cong\overline{NO}.

Considero i triangoli M\overset{\triangle}{B}ON\overset{\triangle}{O}C. Essi hanno:

\overline{MB}\cong\overline{NC} per ipotesi;

C\widehat{M}B \cong C\widehat{N}B per precedente dimostrazione;

M\widehat{B}O \cong O\widehat{C}N per differenza di angoli congruenti;

I triangoli sono congruenti per il secondo criterio di congruenza. In particolare \overline{MO}\cong\overline{NO}.

geom3

Dimostrazione tesi \overline{TB}\cong\overline{SC}.

Considero i triangoli T\overset{\triangle}{B}OS\overset{\triangle}{O}C. Essi hanno:

\overline{BO}\cong\overline{OC} per precedente dimostrazione;

\overline{TO}\cong\overline{SO} per somma di segmenti congruenti (\overline{MT}\cong\overline{NS} per ipotesi e \overline{MO}\cong\overline{NO} per precedente dimostrazione);

B\widehat{O}M \cong N\widehat{O}C perché angoli opposti al vertice;

I triangoli sono congruenti per il primo criterio di congruenza. In particolare  \overline{TB}\cong\overline{SC}.

geom4

Dimostrazione tesi \overline{TA}\cong\overline{SA}.

Considero i triangoli T\overset{\triangle}{M}AA\overset{\triangle}{N}S. Essi hanno:

\overline{MT}\cong\overline{NS} per ipotesi;

\overline{AM}\cong\overline{AN} per ipotesi;

T\widehat{M}A \cong A\widehat{N}S perché angoli opposti al vertice di angoli congruenti;

I triangoli sono congruenti per il primo criterio di congruenza. In particolare  \overline{TA}\cong\overline{SA}.

geom5