Archivio Categoria: Goniometria e trigonometria

Problema di trigonometria

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PROBLEMA

Il perimetro di un triangolo isoscele misura 42 cm e il coseno dell'angolo alla base è uguale a \displaystyle\frac{3}{4}. Calcola l'area del triangolo.

SOLUZIONE

problema_trigonometria

\displaystyle P=42 cm

\displaystyle \cos{\alpha}=\cos{\beta}=\frac{3}{4}

Poniamo

\displaystyle AC=BC=x

\displaystyle AB=42-2x

\displaystyle AH=\frac{42-2x}{2}

Consideriamo il triangolo AHC e applichiamo il seguente teorema:  in ogni triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale al prodotto della misura dell'ipotenusa per il seno dell'angolo opposto ad esso o per il coseno dell'angolo acuto ad esso adiacente.

In questo caso \displaystyle AH=AC\cdot \cos{\alpha}

sostituendo, otteniamo \displaystyle\frac{42-2x}{2}=x\cdot\frac{3}{4}

la cui soluzione è \displaystyle x=12 cm.

Abbiamo trovato i lati \displaystyle AC=BC=x=12cm e \displaystyle AB=42-2x=42-2\cdot 12=18 cm

Ora, con il teorema di Pitagora, ricaviamo \displaystyle CH=\sqrt{12^2-9^2}=\sqrt{63}=7,9 cm

Infine, calcoliamo l'area \displaystyle A=(18\cdot7,9):2=71,1  cm^2