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Criteri di divisibilità

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criteri di divisibilità vengono utilizzati per stabilire se un numero naturale n è divisibile per un altro numero naturale m senza eseguire la divisione. Quando si deve, invece, fattorizzare un numero naturale n utilizzeremo i criteri di divisibilità in cui il divisore è un numero primo.

Divisibilità per 2

Un numero è divisibile per 2 se termina con zero o una cifra pari.

ESEMPI: 24, 80, 1234, 200.

Divisibilità per 3

Un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è un multiplo di 3.

ESEMPI: 24, 7200.

- 24 è divisibile per 3 perché la somma delle sue cifre è 6.

- 7200 è divisibile per 3 perché la somma delle sue cifre è 9.

Divisibilità per 4

Un numero è divisibile per 4 se le ultime due cifre sono 0 oppure formano un numero multiplo di 4.

ESEMPI: 300, 120, 7200.

Divisibilità per 5

Un numero è divisibile per 5  se la sua ultima cifra è 0 o 5.

ESEMPI: 300, 125, 7205.

Divisibilità per 6

Un numero è divisibile per 6 se è divisibile contemporaneamente per 2 e per 3.

ESEMPI: 300, 120, 720.

Divisibilità per 7

Un numero con più di due cifre è divisibile per se la differenza del numero ottenuto escludendo la cifra delle unità e il doppio della cifra delle unità è 0 o un multiplo di 7.

ESEMPI: 175

- 175 è divisibile per 7 perché 17-2x5=7.

Divisibilità per 9

Un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre è un multiplo di 9.

ESEMPI: 171, 1800.

- 171 è divisibile per 9 perché la somma delle sue cifre è 9.

Divisibilità per 10

Un numero è divisibile per 10 se la sua ultima cifra è 0.

ESEMPI: 100, 190.

Divisibilità per 11

Un numero è divisibile per 11 se la differenza fra la somma delle cifre di posto pari e la somma delle cifre di posto dispari è 0 o un multiplo di 11.

ESEMPI: 121.

-121 è divisibile per 11 perché 2-2=0.

Divisibilità per 12

Un numero è divisibile per 12 se è contemporaneamente divisibile sia per 3 sia per 4.

ESEMPI: 336, 1704.

Divisibilità per 13

Un numero è divisibile per 13 quando la somma tra il numero senza l’ultima cifra e il quadruplo di quest’ultima è un multiplo di tredici.

ESEMPI: 338.

- 338 è divisibile per 13 perché 33+4x8=65=6+4x5=26.

Divisibilità per 17

Un numero con più di due cifre è divisibile per 17 se la differenza, fra il numero ottenuto eliminando la cifra delle unità e il quintuplo della cifra delle unità è 0 o un multiplo di 17.

ESEMPI: 1462.

- 1462 è divisibile per 17 perché 146-5x2=136=13-5x6=|-17|=17.

Divisibilità per 19

Un numero è divisibile per 19 quando la somma tra il numero senza l’ultima cifra e il doppio di quest’ultima è un multiplo di diciannove.

ESEMPI: 133.

- 133 è divisibile per 19 perché 13+2x3=19.

Divisibilità per 25

Un numero è divisibile per 25  se il numero formato dalle ultime 2 cifre è divisibile per 25.

ESEMPI: 175, 1825.

Divisibilità per 100

Un numero è divisibile per 100 se le ultime due cifre sono 0.

ESEMPI: 1000, 1800.

Cubo di un binomio


Il cubo di un binomio è un prodotto notevole che si ricava algebricamente nel seguente modo:

\displaystyle (a+b)^3=(a+b)^2\cdot (a+b)=(a^2+2ab+b^2)\cdot (a+b)=a^3+2a^2b+ab^2+a^2b+2ab^2+b^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

Esso si può ottenere anche dal triangolo di Tartaglia: i coefficienti dello sviluppo del cubo del binomio sono dati dalla quarta riga del triangolo.

 triangolo_tartaglia_03

Una strada alternativa per dimostrare lo sviluppo del cubo del binomio è di tipo geometrico:

cubo_binomio

 

 

Problema di geometria 01


Qual è la lunghezza del segmento che unisce i due punti di tangenza A e B?

problema_geometria_01

Insiemi numerici


Insiemi numerici
insiemi_numerici

\displaystyle\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}

- \mathbb{N} è l'insieme dei numeri naturali.

- \mathbb{Z} è l'insieme dei numeri interi.

- \mathbb{Q} è l'insieme dei numeri razionali.

- \mathbb{R} è l'insieme dei numeri reali.

- \mathbb{C} è l'insieme dei numeri complessi.

Quadrato di un binomio



Il quadrato di un binomio è un prodotto notevole che si ricava algebricamente nel seguente modo:

\displaystyle (a+b)^2=(a+b)\cdot (a+b)=a^2+ab +ab+ b^2=a^2+2ab+b^2

Esso si può ottenere anche dal triangolo di Tartaglia: i coefficienti dello sviluppo del quadrato del binomio sono dati dalla terza riga del triangolo.quadrato binomio

Una strada alternativa per dimostrare lo sviluppo del quadrato del binomio è di tipo geometrico: l'area del quadrato di lato (a+b) è uguale alla somma delle aree dei quadrati di lati ab e delle aree dei rettangoli le cui dimensioni sono ab.

quadrato_binomio

Il triangolo di Tartaglia e il binomio Newton


La formula di Newton per lo sviluppo del binomio è \displaystyle (a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{(n-k)} b^k.

Il coefficiente binomiale  \displaystyle{n \choose k} = \frac{n!}{k! \cdot \left( n - k \right)!}, in particolare  \displaystyle{n \choose 0} = {n \choose n} = 1.

Il triangolo di Tartaglia è una disposizione geometrica dei coefficienti binomiali, ossia dei coefficienti dello sviluppo delle potenze del binomio (a+b)^n.

triangolo_tartaglia

Cifrario di Giulio Cesare

Il cifrario di Cesare

Il cifrario di Giulio Cesare è uno dei più antichi algoritmi crittografici. È un cifrario a sostituzione monoalfabetica in cui ogni lettera del testo in chiaro è sostituita nel testo cifrato dalla lettera che si trova un certo numero di posizioni dopo nell'alfabeto. In particolare nel cifrario di Cesare la lettera in chiaro veniva sostituita dalla lettera che la segue di tre posti nell'alfabeto.

CHIARO:    A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
CIFRATO:  D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C

La parola in chiaro "CANE" viene cifrata nella parola "FDQH"

cifrario_cesare

 

Diagrammi di Eulero Venn: differenza tra due insiemi

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differenza_tra_insiemi

Diagrammi di Eulero Venn: insieme complementare

Diagramma di Eulero Venn: insieme complementare

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Diagrammi di Eulero Venn: intersezione di due insiemi

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