Archivio Categoria: Scuola media

Cifrario di Giulio Cesare

Il cifrario di Cesare

Il cifrario di Giulio Cesare è uno dei più antichi algoritmi crittografici. È un cifrario a sostituzione monoalfabetica in cui ogni lettera del testo in chiaro è sostituita nel testo cifrato dalla lettera che si trova un certo numero di posizioni dopo nell'alfabeto. In particolare nel cifrario di Cesare la lettera in chiaro veniva sostituita dalla lettera che la segue di tre posti nell'alfabeto.

CHIARO:    A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
CIFRATO:  D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C

La parola in chiaro "CANE" viene cifrata nella parola "FDQH"

cifrario_cesare

 

Diagrammi di Eulero Venn: insieme complementare

Diagramma di Eulero Venn: insieme complementare

insieme complementare

Diagrammi di Eulero Venn: unione di due insiemi

Diagramma di Eulero Venn: unione di due insiemi

unione

Il volume del cono è 1/3 del volume del cilindro

Il volume del cono è \frac{1}{3} del volume del cilindro.

Rotazione di centro O e angolo \alpha

Rotazione di centro O e angolo \displaystyle\alpha

Proprietà delle potenze


Prodotto di potenze con la stessa base

\displaystyle a^m \cdot a^n=a^{m+n}

Quoziente di potenze con la stessa base

\displaystyle\frac{a^m }{a^n}=a^{m-n}

Potenza di potenza

\displaystyle \left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}

Prodotto di potenze con lo stesso esponente

\displaystyle a^n \cdot b^n=(a\cdot b)^n

Quoziente di potenze con lo stesso esponente

\displaystyle\frac{a^n}{ b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n

Potenza con esponente negativo

\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^n}

\displaystyle \left(\frac{a}{ b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{ a}\right)^{n}

 ESEMPI

1) \displaystyle 2^3 \cdot 2^5=2^{3+5}=2^8

2) \displaystyle 2^7:2^5=2^{7-5}=2^{2}

3) \displaystyle \left(2^7\right)^3=2^{7\cdot 3}=2^{21}

4) \displaystyle 5^4 \cdot 2^4=(5\cdot 2)^4=10^4

5) \displaystyle 25^4:5^4=(25: 5)^4=5^4

6) \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^5= \left(\frac{2}{3}\right)^{3+5}= \left(\frac{2}{3}\right)^8

7) \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^7: \left(\frac{2}{3}\right)^5= \left(\frac{2}{3}\right)^{7-5}= \left(\frac{2}{3}\right)^{2}

8) \displaystyle \left[ \left(\frac{2}{3}\right)^7\right]^3= \left(\frac{2}{3}\right)^{7\cdot 3}= \left(\frac{2}{3}\right)^{21}

9) \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^4 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^4= \left(\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}\right)^4= \left(\frac{1}{2}\right)^4

10) \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^4:\left(\frac{8}{3}\right)^4=\left(\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{8}\right)^4=\left(\frac{1}{4}\right)^4

11) \displaystyle\frac{16^5}{ 8^5}=\left(\frac{16}{8}\right)^5=2^5

12) \displaystyle\left(\frac{5}{ 3}\right)^{-2}=\left(\frac{3}{ 5}\right)^{+2}=\frac{9}{25}

13) \displaystyle 2^7:2^9=2^{7-9}=2^{-2}=\left(\frac{1}{2}\right)^2

14) \displaystyle 2^{-2}\cdot2^{-3}=2^{-2-3}=2^{-5}=\left(\frac{1}{2}\right)^{5}

15) \displaystyle 2^{-2}:2^{-3}=2^{-2-(-3)}=2^{-2+3}=2

16) \displaystyle \left(-\frac{2}{3}\right)^{10} \cdot \left(+\frac{2}{3}\right)^8=\left(+\frac{2}{3}\right)^{10} \cdot \left(+\frac{2}{3}\right)^8=\left(+\frac{2}{3}\right)^{18}

17)  \displaystyle \left(-\frac{2}{3}\right)^{11} \cdot \left(+\frac{2}{3}\right)^8=-\left(+\frac{2}{3}\right)^{11} \cdot \left(+\frac{2}{3}\right)^8=-\left(+\frac{2}{3}\right)^{19}

18) \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{10}\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^8=\left(\frac{2}{3}\right)^{10}\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{-8}=\left(\frac{2}{3}\right)^{10-8}=\left(\frac{2}{3}\right)^{2}

Cilindro: superficie totale, superficie laterale e volume

Area della superficie laterale,  area della superficie totale e volume del cilindro

Formule dirette e inverse delle aree delle superfici e del volume del cilindro.

Area della superficie laterale

\displaystyle S_l = 2 \pi r \cdot h

\displaystyle h=\frac{S_l}{2 \pi r }

\displaystyle r=\frac{S_l}{2 \pi h }

Area della superficie totale

\displaystyle S_t = S_l + 2 \pi r^2

\displaystyle r=\sqrt{\frac{S_t-S_l}{2\pi}}

Volume

\displaystyle V = \pi r^2 \cdot h

\displaystyle h=\frac{V}{\pi r^2}

\displaystyle r=\sqrt{\frac{V}{\pi h}}

 

Omotetia inversa di centro O e rapporto k

Omotetia inversa di centro O e rapporto k

Espressioni con i radicali


ESERCIZIO classi terze

Risolvi le seguenti espressioni con i radicali:

a) \displaystyle -3\sqrt {3} - 3\sqrt {5}+2\sqrt {3}

b) \displaystyle -3\sqrt {12} - 4\sqrt {3}+2\sqrt {27}+6\sqrt {2}

c) \displaystyle (-3\sqrt {3}) \cdot (+3\sqrt {5})

d) \displaystyle (-3\sqrt {3}) \cdot (+3\sqrt {5})\cdot (+3\sqrt {2})

e) \displaystyle \frac {-3\sqrt {15} } {+3\sqrt {5}}

f) \displaystyle \frac {-20\sqrt {30} } {+10\sqrt {15}}\cdot \frac {-10\sqrt {24} } {+10\sqrt {8}}

g) \displaystyle -3\sqrt[3]{135} - 3\sqrt[3] {5}+2\sqrt [3]{5}-4\sqrt [3]{5}

h) \displaystyle -3\sqrt[6]{320} - 3\sqrt[6] {5}+2\sqrt [6]{2}-4\sqrt [6]{78125}

ESERCIZIO classe seconda

Risolvi le seguenti espressioni con i radicali:

a) \displaystyle 7\sqrt {3} + 3\sqrt {5}+2\sqrt {3}-\sqrt {5}

b)n\displaystyle 3\sqrt {12} +4\sqrt {3}+2\sqrt {27}+2\sqrt {2}

c) \displaystyle 3\sqrt {3} \cdot 7\sqrt {5}

d) \displaystyle 3\sqrt {3} \cdot 3\sqrt {5}\cdot 5\sqrt {2}

e) \displaystyle \frac {15\sqrt {15} } {3\sqrt {5}}

f) \displaystyle \frac {20\sqrt {30} } {10\sqrt {15}}\cdot \frac {20\sqrt {24} } {4\sqrt {8}}

Omotetia diretta di centro O e rapporto k

Omotetia diretta di centro O e rapporto k.