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Cifrario di Giulio Cesare

Il cifrario di Cesare

Il cifrario di Giulio Cesare è uno dei più antichi algoritmi crittografici. È un cifrario a sostituzione monoalfabetica in cui ogni lettera del testo in chiaro è sostituita nel testo cifrato dalla lettera che si trova un certo numero di posizioni dopo nell'alfabeto. In particolare nel cifrario di Cesare la lettera in chiaro veniva sostituita dalla lettera che la segue di tre posti nell'alfabeto.

CHIARO:    A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
CIFRATO:  D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C

La parola in chiaro "CANE" viene cifrata nella parola "FDQH"

cifrario_cesare

 

Esercizi sugli integrali: integrali di funzioni elementari

Integrali di funzioni elementari

ESERCIZIO

Calcola i seguenti integrali:

a) \displaystyle \int \left(x^2+3x+2\right) \ \mathrm dx
b) \displaystyle \int \left(\sqrt[3]{x^4}+3x^2+\sin x\right) \ \mathrm dx

SOLUZIONE
Ricordiamo che \displaystyle \int \left[k f(x)+h g(x)\right] \ \mathrm dx=k\int f(x) \ \mathrm dx +h\int g(x) \ \mathrm dx, cioè l'integrale della somma di funzioni è uguale alla somma degli integrali delle singole funzioni e le costanti che moltiplicano le funzioni possono essere portate fuori dall'integrale.

a) \displaystyle \int \left(x^2+3x+2\right) \ \mathrm dx=\int x^2 \ \mathrm dx + 3\int x \ \mathrm dx +\int 2 \ \mathrm dx= \frac{1}{2+1}x^{2+1}+\frac{3}{1+1}x^{1+1}+2x+c=\frac{1}{3}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}+2x+c

b) \displaystyle \int \left(\sqrt[3]{x^4}+3 x^2+\sin x\right) \ \mathrm dx=\int x^{\frac{4}{3}}\ \mathrm dx+3\int x^2\ \mathrm dx+\int \sin x\ \mathrm dx =\frac{1}{\frac{4}{3}+1}x^{\frac{4}{3}+1}+\frac{3}{2+1}x^{2+1}-\cos x+c=\frac{1}{\frac{7}{3}}x^{\frac{7}{3}}+\frac{3}{3}x^{3}-\cos x+c=\frac{3}{7}x^{\frac{7}{3}}+x^{3}-\cos x+c

Diagrammi di Eulero Venn: insieme complementare

Diagramma di Eulero Venn: insieme complementare

insieme complementare

Diagrammi di Eulero Venn: unione di due insiemi

Diagramma di Eulero Venn: unione di due insiemi

unione

Rotazione di centro O e angolo \alpha

Rotazione di centro O e angolo \displaystyle\alpha

Proprietà delle potenze


Prodotto di potenze con la stessa base

\displaystyle a^m \cdot a^n=a^{m+n}

Quoziente di potenze con la stessa base

\displaystyle\frac{a^m }{a^n}=a^{m-n}

Potenza di potenza

\displaystyle \left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}

Prodotto di potenze con lo stesso esponente

\displaystyle a^n \cdot b^n=(a\cdot b)^n

Quoziente di potenze con lo stesso esponente

\displaystyle\frac{a^n}{ b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n

Potenza con esponente negativo

\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^n}

\displaystyle \left(\frac{a}{ b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{ a}\right)^{n}

 ESEMPI

1) \displaystyle 2^3 \cdot 2^5=2^{3+5}=2^8

2) \displaystyle 2^7:2^5=2^{7-5}=2^{2}

3) \displaystyle \left(2^7\right)^3=2^{7\cdot 3}=2^{21}

4) \displaystyle 5^4 \cdot 2^4=(5\cdot 2)^4=10^4

5) \displaystyle 25^4:5^4=(25: 5)^4=5^4

6) \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^5= \left(\frac{2}{3}\right)^{3+5}= \left(\frac{2}{3}\right)^8

7) \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^7: \left(\frac{2}{3}\right)^5= \left(\frac{2}{3}\right)^{7-5}= \left(\frac{2}{3}\right)^{2}

8) \displaystyle \left[ \left(\frac{2}{3}\right)^7\right]^3= \left(\frac{2}{3}\right)^{7\cdot 3}= \left(\frac{2}{3}\right)^{21}

9) \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^4 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^4= \left(\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}\right)^4= \left(\frac{1}{2}\right)^4

10) \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^4:\left(\frac{8}{3}\right)^4=\left(\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{8}\right)^4=\left(\frac{1}{4}\right)^4

11) \displaystyle\frac{16^5}{ 8^5}=\left(\frac{16}{8}\right)^5=2^5

12) \displaystyle\left(\frac{5}{ 3}\right)^{-2}=\left(\frac{3}{ 5}\right)^{+2}=\frac{9}{25}

13) \displaystyle 2^7:2^9=2^{7-9}=2^{-2}=\left(\frac{1}{2}\right)^2

14) \displaystyle 2^{-2}\cdot2^{-3}=2^{-2-3}=2^{-5}=\left(\frac{1}{2}\right)^{5}

15) \displaystyle 2^{-2}:2^{-3}=2^{-2-(-3)}=2^{-2+3}=2

16) \displaystyle \left(-\frac{2}{3}\right)^{10} \cdot \left(+\frac{2}{3}\right)^8=\left(+\frac{2}{3}\right)^{10} \cdot \left(+\frac{2}{3}\right)^8=\left(+\frac{2}{3}\right)^{18}

17)  \displaystyle \left(-\frac{2}{3}\right)^{11} \cdot \left(+\frac{2}{3}\right)^8=-\left(+\frac{2}{3}\right)^{11} \cdot \left(+\frac{2}{3}\right)^8=-\left(+\frac{2}{3}\right)^{19}

18) \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{10}\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^8=\left(\frac{2}{3}\right)^{10}\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{-8}=\left(\frac{2}{3}\right)^{10-8}=\left(\frac{2}{3}\right)^{2}

Formulario di calcolo combinatorio


FORMULARIO DI CALCOLO COMBINATORIO

Fattoriale di n o n-fattoriale ({n!}) {n!}=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4 \cdot \dots \cdot n

{0!}=1

{1!}=1

{(n+1)!}=(n+1){n!}

Permutazioni semplici di n oggetti (si tiene conto dell'ordine) \displaystyle P_n={n!}
Permutazioni con ripetizione di n oggetti di tipo k_1, k_2, \cdots, k_m (si tiene conto dell'ordine e gli elementi si possono ripetere), con n=k_1 + k_2 + \cdots + k_m \displaystyle P^r_{n, k_1, k_2, \cdots, k_m}=\frac{n!}{k_1!\cdot k_2!\cdot \dots \cdot k_m!}
Disposizioni semplici di n oggetti presi k a k (si tiene conto dell'ordine), con 0\leq k \leq n \displaystyle D_{n,k}=\frac{n!}{(n-k)!}
Disposizioni con ripetizione di n oggetti presi k a k (si tiene conto dell'ordine e gli elementi si possono ripetere) \displaystyle D^r_{n,k}=n^k
Combinazioni semplici di n oggetti presi k a k  (non si tiene conto dell'ordine), con 0\leq k \leq n  \displaystyle C_{n,k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}
Combinazioni con ripetizione di n oggetti presi k a k (non si tiene conto dell'ordine e gli elementi si possono ripetere) \displaystyle C^r_{n,k}=C_{n+k-1, k}=\frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}

Esercizi di calcolo combinatorio: permutazioni con ripetizione


ESERCIZIO

Quanti sono gli anagrammi della parola "massa"?

SOLUZIONE

Si tratta di una permutazione con ripetizione (le lettere della parola "massa" non sono tutte diverse).

La formula per calcolare quante sono le permutazioni di n elementi di cui k_1, k_2, \dots, k_m uguali è:

\displaystyle P^r_{n, k_1, k_2, \cdots, k_m}=\frac{n!}{k_1!\cdot k_2!\cdot \dots \cdot k_m!}

dove k_1+ k_2+\dots + k_m=n.

In questo caso la parola è formata da cinque lettere di cui due "s", due "a" e una "m" (n=5, k_1=2, k_2=2, k_3=1)

\displaystyle P^r_{5, 2, 2, 1}=\frac{5!}{2!\cdot 2!\cdot 1!}=\frac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}{2\cdot 2}=30.

Esercizi di calcolo combinatorio: combinazioni con ripetizione


ESERCIZIO

Dato l'insieme A=\lbrace a, b\rbrace, quante combinazioni da tre elementi si possono formare?

SOLUZIONE

Si tratta di una combinazione con ripetizione (le lettere si possono ripetere): \displaystyle C^r_{n,k}=C_{n+k-1, k}=\frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}.

In questo caso per n=2 e k=3\displaystyle C^r_{2,3}=\frac{4!}{3!1!}=\frac{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3\cdot 2 \cdot 1}=4.

Le combinazioni sono quattro: aaa, bbb, aab, bba.

Omotetia inversa di centro O e rapporto k

Omotetia inversa di centro O e rapporto k