Formula di Eulero

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Per dimostrare la formula di Eulero \displaystyle e^{ix}=\cos(x) + i\sin(x) si può utilizzare lo sviluppo in serie delle funzioni analitiche seno, coseno ed esponenziale:

\displaystyle e^z = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{z^n}{n!} = 1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \cdots

\displaystyle\cos z =\sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} z^{2n} = 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \cdots

\displaystyle\sin z =\sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} z^{2n+1}= z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots

Per z reale queste coincidono con l'usuale espansione in serie di Taylor delle relative funzioni reali di variabile reale.

Sostituiamo z con ix nello sviluppo di e^z:

\displaystyle e^{ix}=1+ix+\frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \frac{(ix)^4}{4!} + \frac{(ix)^5}{5!} + \frac{(ix)^6}{6!} + \frac{(ix)^7}{7!} + \frac{(ix)^8}{8!} + \cdots

Per la proprietà delle potenze, abbiamo

\displaystyle e^{ix}=1+ix+\frac{i^2x^2}{2!} + \frac{i^3x^3}{3!} + \frac{i^4x^4}{4!} + \frac{i^5x^5}{5!} + \frac{i^6x^6}{6!} + \frac{i^7x^7}{7!} + \frac{i^8x^8}{8!} + \cdots

Poi, sapendo che i^2=-1, i^3=-i, i^4=+1, i^5=+i, i^6=-1, i^7=-i, i^8=+1, otteniamo

\displaystyle e^{ix}=1+ix-\frac{x^2}{2!} - \frac{ix^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{ix^5}{5!} - \frac{x^6}{6!} - \frac{ix^7}{7!} + \frac{x^8}{8!} + \cdots

Infine, ordinando i termini, otteniamo a destra dell'uguaglianza, rispettivamente, gli sviluppi del coseno e del seno:

\displaystyle e^{ix}=\left(1-\frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!} + \cdots \right) + i\left(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \right)=\cos(x) + i\sin(x){.}

Scegliendo, quindi, x reale si ottiene la formula di Eulero

\displaystyle e^{ix}=\cos(x) + i\sin(x){.}

Sostituendo x con \pi, si ottiene:

\displaystyle e^{i\pi}=\cos(\pi) + i\sin(\pi), dalla quale si ricava l'identità di Eulero

\displaystyle e^{i\pi}+1=0.

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