Esercizi sugli integrali: Integrale doppio in coordinate polari

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ESERCIZIO

Calcola il seguente integrale: \displaystyle \int\int _\Omega (x+y^2)dx dy

con \Omega=\lbrace (x, y)\in \mathbb{R}^2:1\leq x^2+y^2 \leq 4, x\geq0, y\geq 0\rbrace.

SOLUZIONE

Passiamo alle coordinate polari nel piano:

\left \{\begin{array}{ll} x=\rho\cos\vartheta\\ y=\rho\sin\vartheta\\ \end{array}\right.

con \rho=\sqrt{x^2+y^2}, \rho\geq 0 e 0\leq \vartheta <2\pi.

Nel nostro caso abbiamo:

\Omega'=\lbrace (\rho, \vartheta)\in \mathbb{R}^2:1\leq \rho \leq 2, 0\leq \vartheta \leq \frac{\pi}{2}\rbrace;

\displaystyle \int\int _{\Omega'} \left[\rho\cos\vartheta+(\rho\sin\vartheta)^2\right]\rho d\rho d\vartheta;

\displaystyle \int\int _{\Omega'} \left(\rho^2\cos\vartheta+\rho^3\sin^2\vartheta\right)d\rho d\vartheta;

\displaystyle \int_1^2 \rho^2d\rho\int_0^\frac{\pi}{2}\cos\vartheta d\vartheta+\int_1^2\rho^3d\rho\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^2\vartheta d\vartheta=\displaystyle \left[\frac{1}{3}\rho^3\right]_1^2\left[\phantom{\frac{\pi}{2}}\sin\vartheta\right]_0^{\frac{\pi}{2}}+\left[\frac{1}{4}\rho^4\right]_1^2\left[\frac{1}{2}\left(\vartheta-\sin\vartheta\cos\vartheta\right)\right]_0^\frac{\pi}{2}=\frac{7}{3}+\frac{15}{16}\pi.

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