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ESERCIZIO

Calcola i seguenti limiti

1. $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\left (1+\frac{2}{3x}\right)^{5x}.$

2. $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{5\sin(3x)}{7x}$

SOLUZIONE

Per risolvere i limiti proposti applichiamo la formula $\displaystyle \lim_{f(x)\rightarrow +\infty}\left (1+\frac{1}{f(x)}\right)^{f(x)}=e.$

1. Effettuando opportune operazioni, otteniamo
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\left (1+\frac{2}{3x}\right)^{5x}$=$\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\left[\left (1+\frac{1}{\frac{3}{2}x}\right)^{\frac{3}{2}x}\right]^{\frac{10}{3}}=e^{\frac{10}{3}}.$

2. Effettuando opportune operazioni, otteniamo

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{5\sin(3x)}{7x}=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{15}{7}\frac{\sin(3x)}{3x}=\frac{15}{7}\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(3x)}{3x}=\frac{15}{7}.$