Esercizi sugli integrali: lunghezza di una curva

ESERCIZIO

Data una curva di equazioni parametriche \Phi(t)=(\sin t, t, 1-\cos t), con t\in[0, 2\pi], si calcoli la sua lunghezza l(\Phi).

SOLUZIONE

Consideriamo le componenti x(t)=\sin t, y(t)=t, z(t)=1-\cos t e le rispettive derivate x'(t)=\cos t, y'(t)=1, z'(t)=\sin t.

La lunghezza della curva è data da \displaystyle l(\Phi)=\int_0^{2\pi}\sqrt{\cos^2 t+ 1 +\sin^2 t} dt=\int_0^{2\pi}\sqrt{2} dt=[\sqrt{2}t]_0^{2\pi}=2\sqrt{2}\pi.

 

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