Esercizi di calcolo combinatorio: permutazioni con ripetizione


ESERCIZIO

Quanti sono gli anagrammi della parola "massa"?

SOLUZIONE

Si tratta di una permutazione con ripetizione (le lettere della parola "massa" non sono tutte diverse).

La formula per calcolare quante sono le permutazioni di n elementi di cui k_1, k_2, \dots, k_m uguali è:

\displaystyle P^r_{n, k_1, k_2, \cdots, k_m}=\frac{n!}{k_1!\cdot k_2!\cdot \dots \cdot k_m!}

dove k_1+ k_2+\dots + k_m=n.

In questo caso la parola è formata da cinque lettere di cui due "s", due "a" e una "m" (n=5, k_1=2, k_2=2, k_3=1)

\displaystyle P^r_{5, 2, 2, 1}=\frac{5!}{2!\cdot 2!\cdot 1!}=\frac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}{2\cdot 2}=30.

Esercizi di calcolo combinatorio: combinazioni con ripetizione


ESERCIZIO

Dato l'insieme A=\lbrace a, b\rbrace, quante combinazioni da tre elementi si possono formare?

SOLUZIONE

Si tratta di una combinazione con ripetizione (le lettere si possono ripetere): \displaystyle C^r_{n,k}=C_{n+k-1, k}=\frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}.

In questo caso per n=2 e k=3\displaystyle C^r_{2,3}=\frac{4!}{3!1!}=\frac{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3\cdot 2 \cdot 1}=4.

Le combinazioni sono quattro: aaa, bbb, aab, bba.

Cilindro: superficie totale, superficie laterale e volume

Area della superficie laterale,  area della superficie totale e volume del cilindro

Formule dirette e inverse delle aree delle superfici e del volume del cilindro.

Area della superficie laterale

\displaystyle S_l = 2 \pi r \cdot h

\displaystyle h=\frac{S_l}{2 \pi r }

\displaystyle r=\frac{S_l}{2 \pi h }

Area della superficie totale

\displaystyle S_t = S_l + 2 \pi r^2

\displaystyle r=\sqrt{\frac{S_t-S_l}{2\pi}}

Volume

\displaystyle V = \pi r^2 \cdot h

\displaystyle h=\frac{V}{\pi r^2}

\displaystyle r=\sqrt{\frac{V}{\pi h}}

 

Omotetia inversa di centro O e rapporto k

Omotetia inversa di centro O e rapporto k

Espressioni con i radicali


ESERCIZIO classi terze

Risolvi le seguenti espressioni con i radicali:

a) \displaystyle -3\sqrt {3} - 3\sqrt {5}+2\sqrt {3}

b) \displaystyle -3\sqrt {12} - 4\sqrt {3}+2\sqrt {27}+6\sqrt {2}

c) \displaystyle (-3\sqrt {3}) \cdot (+3\sqrt {5})

d) \displaystyle (-3\sqrt {3}) \cdot (+3\sqrt {5})\cdot (+3\sqrt {2})

e) \displaystyle \frac {-3\sqrt {15} } {+3\sqrt {5}}

f) \displaystyle \frac {-20\sqrt {30} } {+10\sqrt {15}}\cdot \frac {-10\sqrt {24} } {+10\sqrt {8}}

g) \displaystyle -3\sqrt[3]{135} - 3\sqrt[3] {5}+2\sqrt [3]{5}-4\sqrt [3]{5}

h) \displaystyle -3\sqrt[6]{320} - 3\sqrt[6] {5}+2\sqrt [6]{2}-4\sqrt [6]{78125}

ESERCIZIO classe seconda

Risolvi le seguenti espressioni con i radicali:

a) \displaystyle 7\sqrt {3} + 3\sqrt {5}+2\sqrt {3}-\sqrt {5}

b)n\displaystyle 3\sqrt {12} +4\sqrt {3}+2\sqrt {27}+2\sqrt {2}

c) \displaystyle 3\sqrt {3} \cdot 7\sqrt {5}

d) \displaystyle 3\sqrt {3} \cdot 3\sqrt {5}\cdot 5\sqrt {2}

e) \displaystyle \frac {15\sqrt {15} } {3\sqrt {5}}

f) \displaystyle \frac {20\sqrt {30} } {10\sqrt {15}}\cdot \frac {20\sqrt {24} } {4\sqrt {8}}

Omotetia diretta di centro O e rapporto k

Omotetia diretta di centro O e rapporto k.

Esercizi di calcolo combinatorio: permutazioni semplici

ESERCIZIO

In quanti modi Luca, Simona, Gioia e Perla possono sedersi su quattro sedie?

SOLUZIONE

Si tratta di una disposizione semplice di n elementi in  n modi diversi, cioè una permutazione semplice.

La formula per calcolare quante sono le permutazioni semplici di n elementi è:
\displaystyle P_n=D_{n,n}=\frac{n!}{(n-n)!}=\frac{n!}{0!}={n!}.

Per n=4, \displaystyle P_4={4!}=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24.

ESERCIZIO

Quanti sono gli anagrammi della parola "carte"?

SOLUZIONE

Si tratta di una permutazione semplice (le lettere della parola "carte"sono tutte diverse).

Per n=5,\displaystyle P_5={5!}=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120.

Esercizi di calcolo combinatorio: disposizioni con ripetizione




ESERCIZIO
Quanti numeri di due cifre si possono formare con gli elementi dell'insieme A=\lbrace 2, 3, 4, 7, 8 \rbrace?

SOLUZIONE
Si tratta di una disposizione (si tiene conto dell'ordine) con ripetizione (le cifre si possono ripetere), cioè  22, 33, 44, 77, 88, 23, 32, 24, 42 ecc...

La formula per calcolare quante sono le disposizioni con ripetizione di n oggetti in k modi è: \displaystyle D^r_{n,k}=n^k.

Abbiamo 5 elementi (n=5) e numeri di 2 cifre  (k=2)

\displaystyle D^r_{5,2}=5^2=25.

Esercizi di calcolo combinatorio: disposizioni semplici





ESERCIZIO
Quanti numeri di due cifre distinte si possono formare con gli elementi dell'insieme A=\lbrace 2, 3, 4, 7, 8 \rbrace?

SOLUZIONE
Si tratta di una disposizione (si tiene conto dell'ordine) semplice (non ci sono ripetizioni), cioè 23, 32, 24, 42, 27, 72 ecc...

La formula per calcolare quante sono le disposizioni semplici di n oggetti in k modi è: \displaystyle D_{n,k}=\frac{n!}{(n-k)!}.

Abbiamo 5 elementi (n=5) e numeri di 2 cifre  (k=2)

\displaystyle D_{5,2}=\frac{5!}{(5-2)!}=\frac{5!}{3!}=\frac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3 \cdot 2\cdot 1}=20.

Dimostrazione del teorema di Pitagora