Quadrato di un binomio



Il quadrato di un binomio è un prodotto notevole che si ricava algebricamente nel seguente modo:

\displaystyle (a+b)^2=(a+b)\cdot (a+b)=a^2+ab +ab+ b^2=a^2+2ab+b^2

Esso si può ottenere anche dal triangolo di Tartaglia: i coefficienti dello sviluppo del quadrato del binomio sono dati dalla terza riga del triangolo.quadrato binomio

Una strada alternativa per dimostrare lo sviluppo del quadrato del binomio è di tipo geometrico: l'area del quadrato di lato (a+b) è uguale alla somma delle aree dei quadrati di lati ab e delle aree dei rettangoli le cui dimensioni sono ab.

quadrato_binomio

Il triangolo di Tartaglia e il binomio Newton


La formula di Newton per lo sviluppo del binomio è \displaystyle (a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{(n-k)} b^k.

Il coefficiente binomiale  \displaystyle{n \choose k} = \frac{n!}{k! \cdot \left( n - k \right)!}, in particolare  \displaystyle{n \choose 0} = {n \choose n} = 1.

Il triangolo di Tartaglia è una disposizione geometrica dei coefficienti binomiali, ossia dei coefficienti dello sviluppo delle potenze del binomio (a+b)^n.

triangolo_tartaglia

Cifrario di Giulio Cesare

Il cifrario di Cesare

Il cifrario di Giulio Cesare è uno dei più antichi algoritmi crittografici. È un cifrario a sostituzione monoalfabetica in cui ogni lettera del testo in chiaro è sostituita nel testo cifrato dalla lettera che si trova un certo numero di posizioni dopo nell'alfabeto. In particolare nel cifrario di Cesare la lettera in chiaro veniva sostituita dalla lettera che la segue di tre posti nell'alfabeto.

CHIARO:    A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
CIFRATO:  D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C

La parola in chiaro "CANE" viene cifrata nella parola "FDQH"

cifrario_cesare

 

Esercizi sugli integrali: integrali di funzioni elementari

Integrali di funzioni elementari

ESERCIZIO

Calcola i seguenti integrali:

a) \displaystyle \int \left(x^2+3x+2\right) \ \mathrm dx
b) \displaystyle \int \left(\sqrt[3]{x^4}+3x^2+\sin x\right) \ \mathrm dx

SOLUZIONE
Ricordiamo che \displaystyle \int \left[k f(x)+h g(x)\right] \ \mathrm dx=k\int f(x) \ \mathrm dx +h\int g(x) \ \mathrm dx, cioè l'integrale della somma di funzioni è uguale alla somma degli integrali delle singole funzioni e le costanti che moltiplicano le funzioni possono essere portate fuori dall'integrale.

a) \displaystyle \int \left(x^2+3x+2\right) \ \mathrm dx=\int x^2 \ \mathrm dx + 3\int x \ \mathrm dx +\int 2 \ \mathrm dx= \frac{1}{2+1}x^{2+1}+\frac{3}{1+1}x^{1+1}+2x+c=\frac{1}{3}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}+2x+c

b) \displaystyle \int \left(\sqrt[3]{x^4}+3 x^2+\sin x\right) \ \mathrm dx=\int x^{\frac{4}{3}}\ \mathrm dx+3\int x^2\ \mathrm dx+\int \sin x\ \mathrm dx =\frac{1}{\frac{4}{3}+1}x^{\frac{4}{3}+1}+\frac{3}{2+1}x^{2+1}-\cos x+c=\frac{1}{\frac{7}{3}}x^{\frac{7}{3}}+\frac{3}{3}x^{3}-\cos x+c=\frac{3}{7}x^{\frac{7}{3}}+x^{3}-\cos x+c

Diagrammi di Eulero Venn: differenza tra due insiemi

Diagrammi di Eulero Venn: differenza tra due insiemi

differenza_tra_insiemi

Diagrammi di Eulero Venn: insieme complementare

Diagramma di Eulero Venn: insieme complementare

insieme complementare

Diagrammi di Eulero Venn: intersezione di due insiemi

Diagramma di Eulero Venn: intersezione di due insiemi

intersezione

Diagrammi di Eulero Venn: unione di due insiemi

Diagramma di Eulero Venn: unione di due insiemi

unione

Il volume del cono è 1/3 del volume del cilindro

Il volume del cono è \frac{1}{3} del volume del cilindro.

Rotazione di centro O e angolo \alpha

Rotazione di centro O e angolo \displaystyle\alpha