Somma dei primi numeri naturali


Consideriamo n=6
Rappresentiamo i numeri naturali con delle palline arancioni che disponiamo in modo tale da formare un triangolo rettangolo. Poi, traslando il triangolo, otteniamo un rettangolo formato complessivamente da (6+1)\cdot 6=42 palline, quindi la somma dei primi 6 numeri naturali è 42:2=21. Seguendo lo stesso ragionamento, per n numeri naturali otteniamo la formula \displaystyle S_n=\frac{n\cdot(n+1)}{2}.
somma_naturali

Consideriamo n=12

\displaystyle N=\lbrace 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\rbrace

Ci si può accorgere facilmente che ci sono 6 coppie di numeri la cui somma dà come risultato 13:

12+1=13

11+2=13

10+3=13

9+4=13

8+5=13

7+6=13

quindi, per ottenere la somma dei primi 12 numeri naturali, moltiplichiamo 13\cdot 6=78.

Se n=12, (n+1)=13 e \frac{n}{2}=6, possiamo generalizzare e scrivere la formula

\displaystyle S_n=\frac{n\cdot(n+1)}{2}.

Per n=100

La somma dei primi 100 numeri naturali è:

\displaystyle S_{100}=\frac{100\cdot(100+1)}{2}=\frac{100\cdot(101)}{2}=5050.

Per n=1000

La somma dei primi 1000 numeri naturali è:

\displaystyle S_{1000}=\frac{1000\cdot(1000+1)}{2}=\frac{1000\cdot(1001)}{2}=500500.

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