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Come calcolare la derivata del prodotto e del quoziente di due funzioni





ESERCIZIO

Calcola le seguenti derivate applicando la regola di derivazione del prodotto di funzioni:

a) \displaystyle y=x^2\cos x

b) \displaystyle y=3x^3\ln x

SOLUZIONE

Ricordiamo la formula per calcolare la derivata del prodotto di due funzioni

\displaystyle \mathrm{D}[{f(x) \cdot g(x)}] = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)

Calcoliamo f'(x) e g'(x) e li sostituiamo nella formula.

a) \displaystyle y'=2x\cdot \cos x + x^2\cdot (-\sin x)=2x\cos x - x^2\sin x

b) \displaystyle y'=9x^2\cdot \ln x +3x^3\cdot \frac{1}{x}=9x^2\ln x +3x^2

 ESERCIZIO

Calcola le seguenti derivate applicando la regola di derivazione del quoziente di funzioni:

a) \displaystyle y=\frac{x^2}{\cos x}

b) \displaystyle y=\frac{3x^3}{\ln x}

SOLUZIONE

Ricordiamo la formula per calcolare la derivata del quoziente di due funzioni

\mathrm{D}\! \displaystyle \left[ {f(x) \over g(x)} \right] = { f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x) \over (g(x))^2}

Calcoliamo f'(x) e g'(x) e li sostituiamo nella formula.

a) \displaystyle y'=\frac{2x\cdot \cos x - x^2\cdot (-\sin x)}{\cos^2 x}=\frac{2x\cos x + x^2\sin x}{\cos^2 x}

b) \displaystyle y'=\frac{9x^2\cdot \ln x -3x^3\cdot \frac{1}{x}}{\ln^2 x}=\frac{9x^2\ln x -3x^2}{\ln^2 x}

Formulario sulle derivate




Regole di derivazione

Siano f(x) e g(x) funzioni reali di variabile reale x derivabili, e sia \mathrm{D} l'operazione di derivazione rispetto a x :

\mathrm{D}[f(x)]=f'(x) \qquad \mathrm{D}[g(x)]=g'(x)

\displaystyle D[af(x) + bg(x) ]=a\cdot f'(x) + b\cdot g'(x) Derivata della somma
 \displaystyle \mathrm{D}[{f(x) \cdot g(x)}] = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) Derivata del prodotto
 \mathrm{D}\! \displaystyle \left[ {f(x) \over g(x)} \right] = { f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x) \over (g(x))^2} Derivata del quoziente
 \mathrm{D}\!\displaystyle \left[ {1 \over f(x)} \right] = -{f'(x) \over (f(x))^2} Derivata della funzione reciproca
 \mathrm{D}\displaystyle \left[ f \left(g(x) \right)\right] = f' \left(g(x) \right) \cdot g'(x) Derivata delle funzioni composte
 \mathrm{D}\displaystyle\left[ f(x)^{g(x)} \right] = f(x)^{g(x)}\left[ g'(x)\ln(f(x)) + \frac{g(x)\cdot f'(x)}{f(x)} \right] Derivata della potenza

Derivate di funzioni elementari

Funzione Derivata
 \displaystyle y = k  \displaystyle y' = 0
 \displaystyle y = x^n  \displaystyle y'= n\,x^{(n-1)}
 \displaystyle y = x  \displaystyle y' = 1
 \displaystyle y = \frac{1}{x}=x^{-1}  \displaystyle y' = -\frac{1}{x^2}
 \displaystyle y = \sqrt{x}=x^\frac{1}{2}  \displaystyle y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}
 \displaystyle y = \sqrt[n]{x^m}=x^ \frac{m}{n}  \displaystyle y'= \frac{m}{n}\cdot x^{\frac{m}{n}-1}
 \displaystyle y=|x|  \displaystyle y' = \frac{|x|}{x}
 \displaystyle y=\log_a{x}  \displaystyle y'=\frac{1}{x}\log_a{e}=\frac{1}{x}\frac{1}{\ln{a}}
 \displaystyle y=\ln{x}  \displaystyle y'=\frac{1}{x}
 \displaystyle y=a^{x}  \displaystyle y'=a^{x}\ln{a}
 \displaystyle y=e^{x}  \displaystyle y'=e^{x}
 \displaystyle y=\sin{x}  \displaystyle y'=\cos{x}
 \displaystyle y=\cos{x}  \displaystyle y'=-\sin{x}
 \displaystyle y=\tan{x}  \displaystyle y'=\frac{1}{\cos^2{x}}=1+\tan^2{x}
 \displaystyle y=\cot{x}  \displaystyle y'=-\frac{1}{\sin^2{x}}=-(1+cotan^2{x})
 \displaystyle y=\arcsin{x}  \displaystyle y'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
 \displaystyle y=\arccos{x}  \displaystyle y'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
 \displaystyle y=\arctan{x}  \displaystyle y'=\frac{1}{1+x^2}
 \displaystyle y=arccot  x  \displaystyle y'=-\frac{1}{1+x^2}
 \displaystyle y=\sinh x  \displaystyle y'=\cosh x
 \displaystyle y=\cosh x  \displaystyle y'=\sinh x
 \displaystyle y=\tanh x  \displaystyle y'=1 - \tanh^2 x

 Derivate di funzioni composte

Funzione Derivata
 \displaystyle y =f(x)^n  \displaystyle y'= n\,f(x)^{(n-1)} \cdot f'(x)
 \displaystyle y=|f(x)|  \displaystyle y' = \frac{|f(x)|}{f(x)}\cdot f'(x)
 \displaystyle y=\ln{|f(x)|}  \displaystyle y'=\frac{1}{f(x)}\cdot f'(x)
 \displaystyle y=a^{f(x)}  \displaystyle y'=a^{f(x)}\ln{a}\cdot f'(x)
 \displaystyle y=e^{f(x)}  \displaystyle y'=e^{f(x)}\cdot f'(x)
 \displaystyle y=\sin{f(x)}  \displaystyle y'=\cos{f(x)}\cdot f'(x)
 \displaystyle y=\cos{f(x)}  \displaystyle y'=-\sin{f(x)}\cdot f'(x)
 \displaystyle y=\tan{f(x)}  \displaystyle y'=\frac{1}{\cos^2{f(x)}}\cdot f'(x)
 \displaystyle y=\cot{f(x)}  \displaystyle y'=-\frac{1}{\sin^2{f(x)}}\cdot f'(x)
 \displaystyle y=\arcsin{f(x)}  \displaystyle y'=\frac{1}{\sqrt{1-f(x)^2}}\cdot f'(x)
 \displaystyle y=\arccos{f(x)}  \displaystyle y'=-\frac{1}{\sqrt{1-f(x)^2}}
 \displaystyle y=\arctan{f(x)}  \displaystyle y'=\frac{1}{1+f(x)^2}\cdot f'(x)
 \displaystyle y=arccot  f(x)  \displaystyle y'=-\frac{1}{1+f(x)^2}\cdot f'(x)

Esercizi sulle derivate

ESERCIZI

Calcola le derivate delle seguenti somme di funzioni elementari:

a) \displaystyle y=x^5-7x+3

b) \displaystyle y=3x^4-7x^2+3x

c) \displaystyle y=\ln{x}+e^x

d) \displaystyle y=\ln{x}+\cos x+2\sin x+3\tan x

SOLUZIONE

Ricordiamo che \displaystyle D[af(x) + bg(x) ]=a\cdot f'(x) + b\cdot g'(x)

a) \displaystyle y'=5x^4-7

b) \displaystyle y'=12x^3-14x+3

c) \displaystyle y'=\frac{1}{x} + e^x

d) \displaystyle y'=\frac{1}{x} -\sin x +2\cos x +\frac {3}{\cos^2 x}

Esercizi sulle derivate: retta tangente ad una curva in un punto

ESERCIZIO

1) Scrivi la retta tangente alla curva f(x)=x^3-5x^2-2 nel punto x_0=2.

SOLUZIONE

L'equazione generale della retta tangente ad una curva in un punto x_0 è y-f(x_0)=f'(x_0) \cdot (x-x_0).

Prima facciamo la derivata di f(x), f'(x)=3x^2-10x, poi calcoliamo f(x_0)=f(2)=-14 e f'(x_0)=f'(2)=-8.
A questo punto possiamo scrivere l'equazione della retta tangente:y+14=-8(x+14) \Rightarrow y=-8x-112-14 \Rightarrow y=-8x-126.