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Esercizi sulle derivate: retta tangente ad una curva in un punto

ESERCIZIO

1) Scrivi la retta tangente alla curva f(x)=x^3-5x^2-2 nel punto x_0=2.

SOLUZIONE

L'equazione generale della retta tangente ad una curva in un punto x_0 è y-f(x_0)=f'(x_0) \cdot (x-x_0).

Prima facciamo la derivata di f(x), f'(x)=3x^2-10x, poi calcoliamo f(x_0)=f(2)=-14 e f'(x_0)=f'(2)=-8.
A questo punto possiamo scrivere l'equazione della retta tangente:y+14=-8(x+14) \Rightarrow y=-8x-112-14 \Rightarrow y=-8x-126.

Esercizi sulle derivate: derivata di una funzione composta

ESERCIZIO 1) Calcola la derivata della seguente funzione composta: \displaystyle y=\ln(x^2-3x).

SOLUZIONE
La funzione è del tipo \displaystyle y=ln[f(x)] e la formula per calcolare la sua derivata è \displaystyle y'=\frac{f'(x)}{f(x)}.
La derivata della funzione assegnata è : \displaystyle y'=\frac{2x-3}{x^2-3x}.

ESERCIZIO 2) Calcola la derivata della seguente funzione composta: \displaystyle y=(x^2-3x)^3.

SOLUZIONE
La funzione è del tipo \displaystyle y=[f(x)]^n e la formula per calcolare la sua derivata è \displaystyle y'=n[f(x)]^{(n-1)}\cdot f'(x).

La derivata della funzione assegnata è : \displaystyle y'=3(x^2-3x)^2\cdot (2x-3).

ESERCIZIO 3) Calcola la derivata della seguente funzione composta: \displaystyle y=e^{(x^2-3x)}.

SOLUZIONE
La funzione è del tipo \displaystyle y=e^{f(x)} e la formula per calcolare la sua derivata è \displaystyle y'=e^{f(x)}\cdot f'(x).

La derivata della funzione assegnata è : \displaystyle y'=e^{(x^2-3x)}\cdot (2x-3).

ESERCIZIO 4) Calcola la derivata della seguente funzione composta: \displaystyle y=\cos{(x^2-3x)}.

SOLUZIONE
La funzione è del tipo \displaystyle y=\cos{[f(x)]} e la formula per calcolare la sua derivata è \displaystyle y'=-\sin{[f(x)]}\cdot f'(x).

La derivata della funzione assegnata è : \displaystyle y'=-(2x-3)\cdot\sin{(x^2-3x)}.

ESERCIZIO 5) Calcola la derivata della seguente funzione composta: Calcola la derivata della seguente funzione composta: \displaystyle y=[e^{(x^2-3x)}]^4

SOLUZIONE
In questo caso abbiamo una funzione composta del tipo \displaystyle f(g(h(x))) la cui derivata è  \displaystyle f'(g(h(x)))\cdot g'(h(x))\cdot h'(x) .

La derivata della funzione assegnata è :  \displaystyle y'=4[e^{(x^2-3x)}]^3\cdot e^{(x^2-3x)}\cdot (2x-3)=4(2x-3)[e^{(x^2-3x)}]^4.