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Esercizi sugli integrali: integrali di funzioni elementari

Integrali di funzioni elementari

ESERCIZIO

Calcola i seguenti integrali:

a) \displaystyle \int \left(x^2+3x+2\right) \ \mathrm dx
b) \displaystyle \int \left(\sqrt[3]{x^4}+3x^2+\sin x\right) \ \mathrm dx

SOLUZIONE
Ricordiamo che \displaystyle \int \left[k f(x)+h g(x)\right] \ \mathrm dx=k\int f(x) \ \mathrm dx +h\int g(x) \ \mathrm dx, cioè l'integrale della somma di funzioni è uguale alla somma degli integrali delle singole funzioni e le costanti che moltiplicano le funzioni possono essere portate fuori dall'integrale.

a) \displaystyle \int \left(x^2+3x+2\right) \ \mathrm dx=\int x^2 \ \mathrm dx + 3\int x \ \mathrm dx +\int 2 \ \mathrm dx= \frac{1}{2+1}x^{2+1}+\frac{3}{1+1}x^{1+1}+2x+c=\frac{1}{3}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}+2x+c

b) \displaystyle \int \left(\sqrt[3]{x^4}+3 x^2+\sin x\right) \ \mathrm dx=\int x^{\frac{4}{3}}\ \mathrm dx+3\int x^2\ \mathrm dx+\int \sin x\ \mathrm dx =\frac{1}{\frac{4}{3}+1}x^{\frac{4}{3}+1}+\frac{3}{2+1}x^{2+1}-\cos x+c=\frac{1}{\frac{7}{3}}x^{\frac{7}{3}}+\frac{3}{3}x^{3}-\cos x+c=\frac{3}{7}x^{\frac{7}{3}}+x^{3}-\cos x+c

Formulario sugli integrali indefiniti




FORMULARIO SUGLI INTEGRALI

Integrai fondamentali Integrali notevoli
\displaystyle \int k \,\text{d}x = k\,x +c
\displaystyle \int x^n \,\text{d}x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} +c \displaystyle \int f(x)^n \cdot f'(x)\,\text{d}x = \frac{f(x)^{n + 1}}{n + 1} +c
\displaystyle \int \frac{1}{ x} \,\text{d}x = \ln |x| +c \displaystyle \int \frac{1}{ f(x)}\cdot f'(x) \,\text{d}x = \ln |f(x)| +c
\displaystyle \int a^x \,\text{d}x =\frac{a^x }{\ln a}+c \displaystyle \int a^{f(x)}\cdot f'(x)\,\text{d}x =\frac{a^{f(x)}}{\ln a}+c
\displaystyle \int e^x \,\text{d}x =e^x +c \displaystyle \int e^{f(x)}\cdot f'(x)\,\text{d}x =e^{f(x)} +c
\displaystyle \int \cos x \,\text{d}x = \sin x +c \displaystyle \int \cos f(x)\cdot f'(x) \,\text{d}x = \sin f(x) +c
\displaystyle \int \sin x \,\text{d}x = - \cos x +c \displaystyle \int \sin f(x)\cdot f'(x)\,\text{d}x = - \cos f(x) +c
\displaystyle \int \frac{1}{\cos^2 x} \,\text{d}x = \tan x +c \displaystyle \int \frac{1}{\cos^2 f(x)}\cdot f'(x) \,\text{d}x = \tan f(x) +c
\displaystyle \int \frac{1}{\sin^2 x} \,\text{d}x =-\cot x +c \displaystyle \int \frac{1}{\sin^2 f(x)}\cdot f'(x) \,\text{d}x = -\cot f(x) +c
\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\text{d}x\,=\arcsin{x} +c \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1-f(x)^2}}\cdot f'(x)\,\text{d}x=\arcsin{f(x)} +c
\displaystyle \int \frac{1}{1+x^2}\,\text{d}x\,=\arctan{x} +c \displaystyle \int \frac{1}{1+f(x)^2}\cdot f'(x)\,\text{d}x\,=\arctan{x} +c

Esercizi sugli integrali: integrale del logaritmo naturale

ESERCIZIO

Calcola il seguente integrale: \displaystyle \int lnxdx

SOLUZIONE

Per risolvere l'integrale applichiamo la formula di integrazione per parti:  \displaystyle \int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx. Ponendo f(x)=lnx e g'(x)=1, calcoliamo f'(x)=\frac {1}{x} e g(x)=x e li sostituiamo nella formula:

\displaystyle \int lnx dx=xlnx-\int x \cdot \frac {1}{x}dx=xlnx-x+c=x(lnx-1)+c