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Esercizi sugli integrali: integrazione per sostituzione

Calcola i seguenti integrali con il metodo di integrazione per sostituzione:

ESERCIZIO 1) \displaystyle \int\frac{e^{x}}{\sqrt{1-e^{2x}}}dx.

SOLUZIONE

Poniamo t=e^x da cui dt=e^x dx.

Effettuiamo la sostituzione e calcoliamo l'integrale immediato \displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt=arcsin(t)+c .

Poi ritorniamo alla variabile x:  \displaystyle \int\frac{e^{x}}{\sqrt{1-e^{2x}}}dx=arcsin(e^x)+c .

ESERCIZIO 2) \displaystyle \int\frac{\sqrt{tan x}}{cos^2x}dx.

SOLUZIONE

Poniamo tan x=t da cui \frac{1}{cos^2x}dx=dt.

Effettuiamo la sosituzione e calcoliamo l'integrale immediato \displaystyle \int\sqrt{t}dt=\frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}+c.

Poi ritorniamo alla variabile x:  \displaystyle \int\frac{\sqrt{tan x}}{cos^2x}dx=\frac{2}{3}(tanx)^{\frac{3}{2}}+c.