Archivio Categoria: Limiti

Formulario sui limiti notevoli

Un formulario sui limiti notevoli:

Formulario sulla definizione di limite

Un formulario utile per risolvere gli esercizi sulla verifica dei limiti:

Esercizio limite notevole con tangente

Calcola il seguente limite:

\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi}\frac{\tan(x)}{\pi-x}.

Utilizziamo il limite notevole \displaystyle \lim_{f(x)\rightarrow 0}\frac{\tan(f(x))}{f(x)}=1. Sappiamo che \tan(x)=-\tan(\pi - x) quindi,  \displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi}\frac{-\tan(\pi-x)}{\pi-x}=-1

Calcolo dei limiti: forma indeterminata infinito/infinito

Calcola il seguente limite:

1. \displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{x^4+3x^3+2x}{x^3-5x^2+3};

SOLUZIONE

Sostituiamo \displaystyle\infty alla funzione e otteniamo la forma indeterminata \displaystyle\frac{\infty}{\infty}. Per risolvere la forma indeterminata raccogliamo il monomio di grado maggiore sia al numeratore che al denominatore:

\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{x^4(1+3/x+2/x^3)}{x^3(1-5/x+3/x^3)}.

Osserviamo che per \displaystyle x\rightarrow \infty, 3/x, 2/x^3, 5/x, 3/x^3 tendono a 0 quindi,

\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{x^4}{x^3}=\lim_{x\rightarrow \infty} x=\infty.

Esercizi limiti notevoli

Calcola i seguenti limiti

1. \displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\left (1+\frac{2}{3x}\right)^{5x}.

2. \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{5\sin(3x)}{7x}

SOLUZIONE

Per risolvere i limiti proposti applichiamo la formula \displaystyle \lim_{f(x)\rightarrow +\infty}\left (1+\frac{1}{f(x)}\right)^{f(x)}=e.

1. Effettuando opportune operazioni, otteniamo
\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\left (1+\frac{2}{3x}\right)^{5x}=\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\left[\left (1+\frac{1}{\frac{3}{2}x}\right)^{\frac{3}{2}x}\right]^{\frac{10}{3}}=e^{\frac{10}{3}}.

2. Effettuando opportune operazioni, otteniamo

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{5\sin(3x)}{7x}=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{15}{7}\frac{\sin(3x)}{3x}=\frac{15}{7}\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(3x)}{3x}=\frac{15}{7}.