Formula di Eulero

Per dimostrare la formula di Eulero \displaystyle e^{ix}=\cos(x) + i\sin(x) si può utilizzare lo sviluppo in serie delle funzioni analitiche seno, coseno ed esponenziale:

\displaystyle e^z = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{z^n}{n!} = 1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \cdots

\displaystyle\cos z =\sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} z^{2n} = 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \cdots

\displaystyle\sin z =\sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} z^{2n+1}= z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots

Per z reale queste coincidono con l'usuale espansione in serie di Taylor delle relative funzioni reali di variabile reale.

Sostituiamo z con ix nello sviluppo di e^z:

\displaystyle e^{ix}=1+ix+\frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \frac{(ix)^4}{4!} + \frac{(ix)^5}{5!} + \frac{(ix)^6}{6!} + \frac{(ix)^7}{7!} + \frac{(ix)^8}{8!} + \cdots

Per la proprietà delle potenze, abbiamo

\displaystyle e^{ix}=1+ix+\frac{i^2x^2}{2!} + \frac{i^3x^3}{3!} + \frac{i^4x^4}{4!} + \frac{i^5x^5}{5!} + \frac{i^6x^6}{6!} + \frac{i^7x^7}{7!} + \frac{i^8x^8}{8!} + \cdots

Poi, sapendo che i^2=-1, i^3=-i, i^4=+1, i^5=+i, i^6=-1, i^7=-i, i^8=+1, otteniamo

\displaystyle e^{ix}=1+ix-\frac{x^2}{2!} - \frac{ix^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{ix^5}{5!} - \frac{x^6}{6!} - \frac{ix^7}{7!} + \frac{x^8}{8!} + \cdots

Infine, ordinando i termini, otteniamo a destra dell'uguaglianza, rispettivamente, gli sviluppi del coseno e del seno:

\displaystyle e^{ix}=\left(1-\frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!} + \cdots \right) + i\left(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \right)=\cos(x) + i\sin(x){.}

Scegliendo, quindi, x reale si ottiene la formula di Eulero

\displaystyle e^{ix}=\cos(x) + i\sin(x){.}

Sostituendo x con \pi, si ottiene:

\displaystyle e^{i\pi}=\cos(\pi) + i\sin(\pi), dalla quale si ricava l'identità di Eulero

\displaystyle e^{i\pi}+1=0.

Criteri di divisibilità

criteri di divisibilità vengono utilizzati per stabilire se un numero naturale n è divisibile per un altro numero naturale m senza eseguire la divisione. Quando si deve, invece, fattorizzare un numero naturale n utilizzeremo i criteri di divisibilità in cui il divisore è un numero primo.

Divisibilità per 2

Un numero è divisibile per 2 se termina con zero o una cifra pari.

ESEMPI: 24, 80, 1234, 200.

Divisibilità per 3

Un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è un multiplo di 3.

ESEMPI: 24, 7200.

- 24 è divisibile per 3 perché la somma delle sue cifre è 6.

- 7200 è divisibile per 3 perché la somma delle sue cifre è 9.

Divisibilità per 4

Un numero è divisibile per 4 se le ultime due cifre sono 0 oppure formano un numero multiplo di 4.

ESEMPI: 300, 120, 7200.

Divisibilità per 5

Un numero è divisibile per 5  se la sua ultima cifra è 0 o 5.

ESEMPI: 300, 125, 7205.

Divisibilità per 6

Un numero è divisibile per 6 se è divisibile contemporaneamente per 2 e per 3.

ESEMPI: 300, 120, 720.

Divisibilità per 7

Un numero con più di due cifre è divisibile per se la differenza del numero ottenuto escludendo la cifra delle unità e il doppio della cifra delle unità è 0 o un multiplo di 7.

ESEMPI: 175

- 175 è divisibile per 7 perché 17-2x5=7.

Divisibilità per 9

Un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre è un multiplo di 9.

ESEMPI: 171, 1800.

- 171 è divisibile per 9 perché la somma delle sue cifre è 9.

Divisibilità per 10

Un numero è divisibile per 10 se la sua ultima cifra è 0.

ESEMPI: 100, 190.

Divisibilità per 11

Un numero è divisibile per 11 se la differenza fra la somma delle cifre di posto pari e la somma delle cifre di posto dispari è 0 o un multiplo di 11.

ESEMPI: 121.

-121 è divisibile per 11 perché 2-2=0.

Divisibilità per 12

Un numero è divisibile per 12 se è contemporaneamente divisibile sia per 3 sia per 4.

ESEMPI: 336, 1704.

Divisibilità per 13

Un numero è divisibile per 13 quando la somma tra il numero senza l’ultima cifra e il quadruplo di quest’ultima è un multiplo di tredici.

ESEMPI: 338.

- 338 è divisibile per 13 perché 33+4x8=65=6+4x5=26.

Divisibilità per 17

Un numero con più di due cifre è divisibile per 17 se la differenza, fra il numero ottenuto eliminando la cifra delle unità e il quintuplo della cifra delle unità è 0 o un multiplo di 17.

ESEMPI: 1462.

- 1462 è divisibile per 17 perché 146-5x2=136=13-5x6=|-17|=17.

Divisibilità per 19

Un numero è divisibile per 19 quando la somma tra il numero senza l’ultima cifra e il doppio di quest’ultima è un multiplo di diciannove.

ESEMPI: 133.

- 133 è divisibile per 19 perché 13+2x3=19.

Divisibilità per 25

Un numero è divisibile per 25  se il numero formato dalle ultime 2 cifre è divisibile per 25.

ESEMPI: 175, 1825.

Divisibilità per 100

Un numero è divisibile per 100 se le ultime due cifre sono 0.

ESEMPI: 1000, 1800.

Formulario sui prodotti notevoli

Un prodotto notevole è un'identità che compare spesso nel calcolo letterale, in particolare per effettuare velocemente il prodotto e le potenze di polinomi di forme particolari.

Quadrato di un binomio

\displaystyle (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

\displaystyle (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Quadrato di un trinomio

\displaystyle (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc

Somma per differenza

\displaystyle (a + b)(a - b) = a^2 - b^2

Cubo di un binomio

\displaystyle (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

\displaystyle (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3

Somma di due cubi

\displaystyle a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

Differenza di due cubi

\displaystyle a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

Metodo di integrazione per parti

Il metodo di integrazione per parti è una delle principali procedure di risoluzione di integrali utilizzato per calcolare l'integrale del prodotto di due funzioni.

Siano f e g due funzioni continue e derivabili in x, la derivata del prodotto delle due funzioni è pari a:

\displaystyle \frac{\text{d}}{\text{d}x}[f(x)g(x)]=\frac{\text{d}f(x)}{\text{d}x}g(x)+f(x)\frac{\text{d}g(x)}{\text{d}x}=f^\prime(x)g(x) + f(x)g^\prime(x)

Applicando ora l'operatore integrale ad entrambi i membri dell'equazione si ottiene:

\displaystyle \int \frac{\text{d}}{\text{d}x}[f(x)g(x)] \text{d}x = \int [f^\prime(x)g(x) + f(x)g^\prime(x)] \text{d}x = \int [f^\prime(x)g(x)] \text{d}x + \int [f(x)g^\prime(x)] \text{d}x

Per il teorema fondamentale del calcolo integrale si ha che:

\displaystyle f(x)g(x) = \int [f^\prime(x)g(x)] \text{d}x + \int [f(x)g^\prime(x)] \text{d}x.

Dalla precedente si ottiene la formula di integrazione per parti:

\displaystyle \int [f^\prime(x)g(x)] \text{d}x = f(x)g(x) - \int [f(x)g^\prime(x)] \text{d}x

Esercizi sugli integrali: integrazione per parti


Ricordiamo la formula di integrazione per parti: \displaystyle\int f(x)g^\prime(x) \text{d}x = f(x)g(x) - \int f^\prime(x)g(x) \text{d}x
ESERCIZIO
Risolvi l'integrale \displaystyle\int \sin(x) \cos(x) \text{d}x con il metodo di integrazione per parti:
SOLUZIONE
\displaystyle\int \sin(x) \cos(x) \text{d}x
Poniamo \displaystyle f(x) = \sin(x), \displaystyle g^\prime(x) = \cos(x), calcoliamo \displaystyle f^\prime(x) = \cos(x), \displaystyle g(x) = \sin(x) e sostituiamo nell'espressione:
\displaystyle\int f(x)g^\prime(x) \text{d}x = f(x)g(x) - \int f^\prime(x)g(x) \text{d}x
ottenendo:
\displaystyle\int \sin(x)\cos(x) \text{d}x = \sin(x)\sin(x) - \int \cos(x)\sin(x) \text{d}x
\displaystyle2 \int \sin(x)\cos(x) \text{d}x = \sin^2(x)
\displaystyle\int \sin(x)\cos(x) \text{d}x = \frac{\sin^2(x)}{2} + c

ESERCIZIO
Risolvi l'integrale \displaystyle \int x e^x \text{d}x con il metodo di integrazione per parti:
SOLUZIONE
\displaystyle \int x e^x \text{d}x
Poniamo \displaystyle f(x) = x , \displaystyle g^\prime(x) = e^x , calcoliamo \displaystyle f^\prime(x) =1, \displaystyle g(x)=e^x e sostituiamo nell'espressione:
\displaystyle\int f(x)g^\prime(x) \text{d}x = f(x)g(x) - \int f^\prime(x)g(x) \text{d}x
cioè:
\displaystyle \int x e^x \text{d}x = x e^x - \int e^x \text{d}x
\displaystyle \int x e^x \text{d}x = x e^x - e^x + c
\displaystyle \int x e^x \text{d}x = e^x (x - 1) + c

Cubo di un binomio


Il cubo di un binomio è un prodotto notevole che si ricava algebricamente nel seguente modo:

\displaystyle (a+b)^3=(a+b)^2\cdot (a+b)=(a^2+2ab+b^2)\cdot (a+b)=a^3+2a^2b+ab^2+a^2b+2ab^2+b^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

Esso si può ottenere anche dal triangolo di Tartaglia: i coefficienti dello sviluppo del cubo del binomio sono dati dalla quarta riga del triangolo.

 triangolo_tartaglia_03

Una strada alternativa per dimostrare lo sviluppo del cubo del binomio è di tipo geometrico:

cubo_binomio

 

 

Problema di geometria 01


Qual è la lunghezza del segmento che unisce i due punti di tangenza A e B?

problema_geometria_01

Insiemi numerici


Insiemi numerici
insiemi_numerici

\displaystyle\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}

- \mathbb{N} è l'insieme dei numeri naturali.

- \mathbb{Z} è l'insieme dei numeri interi.

- \mathbb{Q} è l'insieme dei numeri razionali.

- \mathbb{R} è l'insieme dei numeri reali.

- \mathbb{C} è l'insieme dei numeri complessi.

Quadrato di un binomio



Il quadrato di un binomio è un prodotto notevole che si ricava algebricamente nel seguente modo:

\displaystyle (a+b)^2=(a+b)\cdot (a+b)=a^2+ab +ab+ b^2=a^2+2ab+b^2

Esso si può ottenere anche dal triangolo di Tartaglia: i coefficienti dello sviluppo del quadrato del binomio sono dati dalla terza riga del triangolo.quadrato binomio

Una strada alternativa per dimostrare lo sviluppo del quadrato del binomio è di tipo geometrico: l'area del quadrato di lato (a+b) è uguale alla somma delle aree dei quadrati di lati ab e delle aree dei rettangoli le cui dimensioni sono ab.

quadrato_binomio

Il triangolo di Tartaglia e il binomio Newton


La formula di Newton per lo sviluppo del binomio è \displaystyle (a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{(n-k)} b^k.

Il coefficiente binomiale  \displaystyle{n \choose k} = \frac{n!}{k! \cdot \left( n - k \right)!}, in particolare  \displaystyle{n \choose 0} = {n \choose n} = 1.

Il triangolo di Tartaglia è una disposizione geometrica dei coefficienti binomiali, ossia dei coefficienti dello sviluppo delle potenze del binomio (a+b)^n.

triangolo_tartaglia