Disposizioni con ripetizioni




ESERCIZIO
Quanti numeri di due cifre si possono formare con gli elementi dell'insieme A=\lbrace 2, 3, 4, 7, 8 \rbrace?

SOLUZIONE
Si tratta di una disposizione (si tiene conto dell'ordine) con ripetizioni (le cifre si possono ripetere):

\displaystyle D^*_{n,k}=n^k.

Abbiamo 5 elementi (n=5) e numeri di 2 cifre  (k=2)

\displaystyle D^*_{5,2}=5^2=25.

Disposizioni semplici





ESERCIZIO
Quanti numeri di due cifre distinte si possono formare con gli elementi dell'insieme A=\lbrace 2, 3, 4, 7, 8 \rbrace?

SOLUZIONE
Si tratta di una disposizione (si tiene conto dell'ordine) semplice (non ci sono ripetizioni):

\displaystyle D_{n,k}=\frac{n!}{(n-k)!}.

Abbiamo 5 elementi (n=5) e numeri di 2 cifre  (k=2)

\displaystyle D_{5,2}=\frac{5!}{(5-2)!}=\frac{5!}{3!}=\frac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3 \cdot 2\cdot 1}=20.

Dimostrazione del teorema di Pitagora

Prisma retto

Schermata 2019-01-20 alle 09.13.03

Formule dirette e inverse delle superfici e del volume di un prisma retto che ha per base un poligono generico.

Superficie laterale

\displaystyle S_l=P_b\cdot h

\displaystyle P_b=\frac{S_l}{h}

\displaystyle h=\frac{S_l}{P_b}

Superficie totale

\displaystyle S_t=S_l+2A_b

\displaystyle S_l=S_t-2A_b

\displaystyle A_b=\frac{S_t-S_l}{2}

Volume

\displaystyle V=A_b\cdot h

\displaystyle h=\frac{V}{A_b}

\displaystyle A_b=\frac{V}{h}

 

Teorema di Talete


Un fascio di rette parallele determina su due trasversali due classi di segmenti direttamente proporzionali.

Schermata 2019-01-19 alle 14.36.29

Triangolo inscritto in una semicirconferenza

Il triangolo inscritto in una semicirconferenza è rettangolo.

 

Somma dei primi numeri naturali




Consideriamo n=12

\displaystyle N=\lbrace 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\rbrace

Ci si può accorgere facilmente che ci sono 6 coppie di numeri la cui somma dà come risultato 13:

12+1=13

11+2=13

10+3=13

9+4=13

8+5=13

7+6=13

quindi, per ottenere la somma dei primi 12 numeri naturali, moltiplichiamo 13\cdot 6=78.

Se n=12, (n+1)=13 e \frac{n}{2}=6, possiamo generalizzare e scrivere la formula

\displaystyle S_n=\frac{n\cdot(n+1)}{2}.

Per n=100

La somma dei primi 100 numeri naturali è:

\displaystyle S_{100}=\frac{100\cdot(100+1)}{2}=\frac{100\cdot(101)}{2}=5050.

Per n=1000

La somma dei primi 1000 numeri naturali è:

\displaystyle S_{1000}=\frac{1000\cdot(1000+1)}{2}=\frac{1000\cdot(1001)}{2}=500500.

Esercizio sui monomi: coefficiente, grado, monomio simile, monomio opposto


ESERCIZIO

Per ogni monomio scrivi il coefficiente, la parte letterale, il grado, un monomio simile e il monomio opposto:

Monomio Coefficiente Parte letterale Grado Monomio simile Monomio opposto
+6x^2y^3
-11xab^2
+9
+2x

SOLUZIONE

Monomio Coefficiente Parte letterale Grado Monomio simile Monomio opposto
+6x^2y^3 +6 x^2y^3 5 -12x^2y^3 -6x^2y^3
-11xab^2 -11 xab^2 4 +34xab^2 +11xab^2
+9 +9 0 +123 -9
+2x +2 x 1 -3x -2x

Espressioni letterali




ESERCIZIO

Calcola il valore delle seguenti espressioni letterali per a=-1, b=-2, c=+3, d=+2.

a) \displaystyle2a^2bc-3d

b) \displaystyle\frac{1}{2}ab-2c\left[d-4a\right]

c) \displaystyle\frac{2ab-2cd-4a}{ad^2}

SOLUZIONE

Sostituiamo al posto delle lettere i corrispondenti valori numerici: a=-1, b=-2, c=+3, d=+2.

a) \displaystyle2a^2bc-3d=2(-1)^2(-2)(+3)-3(+2)=2(+1)(-2)(+3)-6=-12-6=-18

b) \displaystyle\frac{1}{2}ab-2c\left[d-4a\right]=\frac{1}{2}(-1)(-2)-2(3)\left[2-4(-1)\right]=

+1-6\left[2+4\right]=+1-6(+6)=1-36=-35

c) \displaystyle\frac{2ab-2cd-4a}{ad^2}=\frac{2(-1)(-2)-2(+3)(+2)-4(-1)}{(-1)(+2)^2}=\frac{+4-12+4}{-4}=\frac{-4}{-4}=+1

L'angolo alla circonferenza è la metà dell'angolo al centro che insiste sullo stesso arco

L'angolo alla circonferenza è la metà dell'angolo al centro che insiste sullo stesso arco.