Permutazioni semplici

ESERCIZIO

In quanti modi Luca, Simona, Gioia e Perla possono sedersi su quattro sedie?

SOLUZIONE

Si tratta di disporre 4 persone su 4 sedie, ovviamente senza ripetizioni (le persone possono sedersi su una sola sedia libera). Quindi è una disposizione semplice di n elementi in n modi diversi, cioè una permutazione semplice.

La formula per calcolare quante sono le permutazioni semplici di n elementi è:
\displaystyle P_n=D_{n,n}=\frac{n!}{(n-n)!}=\frac{n!}{0!}={n!}.

Per n=4 \displaystyle P_4=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24.

Disposizioni con ripetizioni




ESERCIZIO
Quanti numeri di due cifre si possono formare con gli elementi dell'insieme A=\lbrace 2, 3, 4, 7, 8 \rbrace?

SOLUZIONE
Si tratta di una disposizione (si tiene conto dell'ordine) con ripetizioni (le cifre si possono ripetere), cioè  22, 33, 44, 77, 88, 23, 32, 24, 42 ecc...

La formula per calcolare quante sono le disposizioni con ripetizioni di n oggetti in k modi è: \displaystyle D^*_{n,k}=n^k.

Abbiamo 5 elementi (n=5) e numeri di 2 cifre  (k=2)

\displaystyle D^*_{5,2}=5^2=25.

Disposizioni semplici





ESERCIZIO
Quanti numeri di due cifre distinte si possono formare con gli elementi dell'insieme A=\lbrace 2, 3, 4, 7, 8 \rbrace?

SOLUZIONE
Si tratta di una disposizione (si tiene conto dell'ordine) semplice (non ci sono ripetizioni), cioè 23, 32, 24, 42, 27, 72 ecc...

La formula per calcolare quante sono le disposizioni semplici di n oggetti in k modi è: \displaystyle D_{n,k}=\frac{n!}{(n-k)!}.

Abbiamo 5 elementi (n=5) e numeri di 2 cifre  (k=2)

\displaystyle D_{5,2}=\frac{5!}{(5-2)!}=\frac{5!}{3!}=\frac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3 \cdot 2\cdot 1}=20.

Dimostrazione del teorema di Pitagora

Prisma retto

Schermata 2019-01-20 alle 09.13.03

Formule dirette e inverse delle superfici e del volume di un prisma retto che ha per base un poligono generico.

Superficie laterale

\displaystyle S_l=P_b\cdot h

\displaystyle P_b=\frac{S_l}{h}

\displaystyle h=\frac{S_l}{P_b}

Superficie totale

\displaystyle S_t=S_l+2A_b

\displaystyle S_l=S_t-2A_b

\displaystyle A_b=\frac{S_t-S_l}{2}

Volume

\displaystyle V=A_b\cdot h

\displaystyle h=\frac{V}{A_b}

\displaystyle A_b=\frac{V}{h}

 

Teorema di Talete

Un fascio di rette parallele determina su due trasversali due classi di segmenti direttamente proporzionali.

Schermata 2019-01-19 alle 14.36.29

Triangolo inscritto in una semicirconferenza

Il triangolo inscritto in una semicirconferenza è rettangolo.

 

Somma dei primi numeri naturali




Consideriamo n=12

\displaystyle N=\lbrace 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\rbrace

Ci si può accorgere facilmente che ci sono 6 coppie di numeri la cui somma dà come risultato 13:

12+1=13

11+2=13

10+3=13

9+4=13

8+5=13

7+6=13

quindi, per ottenere la somma dei primi 12 numeri naturali, moltiplichiamo 13\cdot 6=78.

Se n=12, (n+1)=13 e \frac{n}{2}=6, possiamo generalizzare e scrivere la formula

\displaystyle S_n=\frac{n\cdot(n+1)}{2}.

Per n=100

La somma dei primi 100 numeri naturali è:

\displaystyle S_{100}=\frac{100\cdot(100+1)}{2}=\frac{100\cdot(101)}{2}=5050.

Per n=1000

La somma dei primi 1000 numeri naturali è:

\displaystyle S_{1000}=\frac{1000\cdot(1000+1)}{2}=\frac{1000\cdot(1001)}{2}=500500.

Esercizio sui monomi: coefficiente, grado, monomio simile, monomio opposto


ESERCIZIO

Per ogni monomio scrivi il coefficiente, la parte letterale, il grado, un monomio simile e il monomio opposto:

Monomio Coefficiente Parte letterale Grado Monomio simile Monomio opposto
+6x^2y^3
-11xab^2
+9
+2x

SOLUZIONE

Monomio Coefficiente Parte letterale Grado Monomio simile Monomio opposto
+6x^2y^3 +6 x^2y^3 5 -12x^2y^3 -6x^2y^3
-11xab^2 -11 xab^2 4 +34xab^2 +11xab^2
+9 +9 0 +123 -9
+2x +2 x 1 -3x -2x

Espressioni letterali




ESERCIZIO

Calcola il valore delle seguenti espressioni letterali per a=-1, b=-2, c=+3, d=+2.

a) \displaystyle2a^2bc-3d

b) \displaystyle\frac{1}{2}ab-2c\left[d-4a\right]

c) \displaystyle\frac{2ab-2cd-4a}{ad^2}

SOLUZIONE

Sostituiamo al posto delle lettere i corrispondenti valori numerici: a=-1, b=-2, c=+3, d=+2.

a) \displaystyle2a^2bc-3d=2(-1)^2(-2)(+3)-3(+2)=2(+1)(-2)(+3)-6=-12-6=-18

b) \displaystyle\frac{1}{2}ab-2c\left[d-4a\right]=\frac{1}{2}(-1)(-2)-2(3)\left[2-4(-1)\right]=

+1-6\left[2+4\right]=+1-6(+6)=1-36=-35

c) \displaystyle\frac{2ab-2cd-4a}{ad^2}=\frac{2(-1)(-2)-2(+3)(+2)-4(-1)}{(-1)(+2)^2}=\frac{+4-12+4}{-4}=\frac{-4}{-4}=+1