Archivio Categoria: Geometria per le superiori

Teoremi di Euclide

Schermata 2018-12-09 alle 10.04.33PRIMO TEOREMA DI EUCLIDE

I triangoli rettangoli ADF e ADE hanno gli angoli rispettivamente congruenti, pertanto essi sono simili per il primo criterio di similitudine. Essendo simili, hanno i lati omologhi in proporzione, quindi possiamo scrivere:

AE:AD=AD:AF

AD^2=AE \cdot AF

I triangoli rettangoli DEF e ADE hanno gli angoli rispettivamente congruenti, pertanto essi sono simili per il primo criterio di similitudine. Essendo simili, hanno i lati omologhi in proporzione, quindi possiamo scrivere:

AE:DE=DE:EF

DE^2=AE \cdot EF

SECONDO TEOREMA DI EUCLIDE

I triangoli rettangoli ADF e DEF hanno gli angoli rispettivamente congruenti, pertanto essi sono simili per il primo criterio di similitudine. Essendo simili, hanno i lati omologhi in proporzione, quindi possiamo scrivere:

AF:DF=DF:EF

DF^2=AF \cdot EF

 

Dimostrazione di geometria (criteri di congruenza dei triangoli)

Ipotesi

\overline{AB}\cong\overline{AC}

\overline{AM}\cong\overline{MB}\cong\overline{AN}\cong\overline{NC}

\overline{MT}\cong\overline{NS}

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Tesi

1) \overline{CM}\cong\overline{BN}

2) \overline{MO}\cong\overline{NO}

3) \overline{TB}\cong\overline{SC}

4) \overline{TA}\cong\overline{SA}

Dimostrazione tesi \overline{CM}\cong\overline{BN}.

Considero i triangoli C\overset{\triangle}{M}BC\overset{\triangle}{N}B. Essi hanno:

\overline{MB}\cong\overline{NC} per ipotesi;

\overline{BC} in comune;

A\widehat{B}C \cong B\widehat{C}A per il teorema diretto del triangolo isoscele;

I triangoli sono congruenti per il primo criterio di congruenza. In particolare \overline{CM}\cong\overline{BN}.

geom2

Dimostrazione tesi \overline{MO}\cong\overline{NO}.

Considero i triangoli M\overset{\triangle}{B}ON\overset{\triangle}{O}C. Essi hanno:

\overline{MB}\cong\overline{NC} per ipotesi;

C\widehat{M}B \cong C\widehat{N}B per precedente dimostrazione;

M\widehat{B}O \cong O\widehat{C}N per differenza di angoli congruenti;

I triangoli sono congruenti per il secondo criterio di congruenza. In particolare \overline{MO}\cong\overline{NO}.

geom3

Dimostrazione tesi \overline{TB}\cong\overline{SC}.

Considero i triangoli T\overset{\triangle}{B}OS\overset{\triangle}{O}C. Essi hanno:

\overline{BO}\cong\overline{OC} per precedente dimostrazione;

\overline{TO}\cong\overline{SO} per somma di segmenti congruenti (\overline{MT}\cong\overline{NS} per ipotesi e \overline{MO}\cong\overline{NO} per precedente dimostrazione);

B\widehat{O}M \cong N\widehat{O}C perché angoli opposti al vertice;

I triangoli sono congruenti per il primo criterio di congruenza. In particolare  \overline{TB}\cong\overline{SC}.

geom4

Dimostrazione tesi \overline{TA}\cong\overline{SA}.

Considero i triangoli T\overset{\triangle}{M}AA\overset{\triangle}{N}S. Essi hanno:

\overline{MT}\cong\overline{NS} per ipotesi;

\overline{AM}\cong\overline{AN} per ipotesi;

T\widehat{M}A \cong A\widehat{N}S perché angoli opposti al vertice di angoli congruenti;

I triangoli sono congruenti per il primo criterio di congruenza. In particolare  \overline{TA}\cong\overline{SA}.

geom5