SCOMPOSIZIONI

Raccoglimento totale

$\displaystyle ax+bx+cx=x(a+b+c)$

Raccoglimento parziale-totale

$\displaystyle ax+bx+ay+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)$

Differenza di due quadrati

$\displaystyle a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

Differenza di due cubi

$\displaystyle a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Somma di due cubi

$\displaystyle a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

Quadrato di un binomio

$\displaystyle a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$

$\displaystyle a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$

Trinomio caratteristico di primo tipo (il coefficiente del termine di secondo grado è uguale a 1 )

$\displaystyle a^2+5a+6$

Si devono trovare due numeri il cui prodotto è $6$ e la cui somma è $5$. I numeri sono: $2$ e $3$.

$\displaystyle a^2+5a+6=(a+2)(a+3)$

Trinomio caratteristico di secondo tipo (il coefficiente del termine di secondo grado è diverso da 1 )

$\displaystyle 3a^2-10a+8$

Si devono trovare due numeri il cui prodotto è $8\cdot 3=24$ e la cui somma è $-10$. I numeri sono: $-4$ e $-6$.

$\displaystyle 3a^2-6a-4a+8=3a(a-2)-4(a-2)=(a-2)(3a-4)$

Differenza di due quadrati (uno dei due quadrati è un quadrato di binomio)

$\displaystyle a^2+2ab+b^2-c^2=(a+b)^2-c^2=(a+b-c)(a+b+c)$

Cubo di un binomio

$\displaystyle a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3$

$\displaystyle a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3$

Quadrato di un trinomio

$\displaystyle a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)^2$

$\displaystyle a^2+b^2+c^2-2ab+2ac-2bc=(a-b+c)^2$

$\displaystyle a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc=(a+b-c)^2$

$\displaystyle a^2+b^2+c^2-2ab-2ac+2bc=(a-b-c)^2$

Scomposizione di un polinomio con il teorema di Ruffini

CASO 1 (il coefficiente del termine di grado massimo è uguale a $1$).

$\displaystyle P(a)=a^3-5a^2+3a+9$

Si cercano gli zeri del polinomio tra i divisori del termine noto: $\pm 1$, $\pm 3$, $\pm 9$.

Si verifica che $P(-1)=0$, quindi $-1$ è uno zero di $P(a)$ e $(a+1)$ è un divisore di $P(a)$.

Si esegue la divisione $\displaystyle (a^3-5a^2+3a+9):(a+1)$ con la regola di Ruffini o con il metodo della divisione tra polinomi.

Si ottiene quoziente $Q(a)=a^2-6a+9$ e resto $R(a)=0$.

Quindi: $\displaystyle a^3-5a^2+3a+9=(a^2-6a+9)(a+1)=(a-3)^2(a+1)$.

CASO 2 (il coefficiente del termine di grado massimo è diverso da $1$).

$\displaystyle P(a)=2a^3+a^2+a-1$

Si cercano gli zeri del polinomio tra i numeri dati dal rapporto tra i divisori del termine noto e i divisori del coefficiente di grado massimo: $\pm 1$, $\pm \frac{1}{2}$.

Si verifica che $P(\frac{1}{2})=0$, quindi $\frac{1}{2}$ è uno zero di $P(a)$ e $(a-\frac{1}{2})$ è un divisore di $P(a)$.

Si esegue la divisione $(2a^3+a^2+a-1):(a-\frac{1}{2})$ con la regola di Ruffini o con il metodo della divisione tra polinomi.

Si ottiene quoziente $Q(a)=2a^2+2a+2$ e resto $R(a)=0$.

Quindi: $2a^3+a^2+a-1=(2a^2+2a+2)(a-\frac{1}{2})=(a^2+a+1)(2a-1)$