Stabilire se le seguenti funzioni da $\mathbb{R}$ in $\mathbb{R}$ sono iniettive, suriettive o biiettive:

1) $\displaystyle y=2x-3$

SOLUZIONE

La funzione è iniettiva se $y_1=y_2$, allora $x_1=x_2$.

$\displaystyle 2x_1-3=2x_2-3$ $\rightarrow$ $\displaystyle\displaystyle2x_1=2x_2$ $\rightarrow$ $\displaystyle x_1=x_2$, quindi la funzione è iniettiva.

Poiché è stato scelto come codominio $\mathbb{R}$, la funzione è suriettiva se l’immagine è $\mathbb{R}$.

$\displaystyle x=\frac{y+3}{2}$, da cui si deduce che $Imf=\mathbb{R}$, quindi la funzione è suriettiva.

2) $\displaystyle y=x^4-1$

SOLUZIONE

La funzione è iniettiva se $y_1=y_2$, allora$x_1=x_2$.

$\displaystyle x_1^4-1=x_2^4-1$ $\rightarrow$ $\displaystyle x_1^4=x_2^4$ $\rightarrow$ $\displaystyle x_1=\pm x_2$, quindi la funzione non è iniettiva.

Poiché è stato scelto come codominio $\mathbb{R}$, la funzione è suriettiva se l’immagine è $\mathbb{R}$.

$\displaystyle x=\sqrt[4]{y+1}$, da cui si deduce $\displaystyle y\geq -1$.

L’insieme immagine è $Imf=\{y\in\mathbb{R}\:|\:y\geq -1\}$, quindi la funzione non è suriettiva.