ADDIZIONE E MOLTIPLICAZIONE

L’addizione e la moltiplicazione sono operazioni interne a $\mathbb{N}$ o, in modo equivalente, che $\mathbb{N}$ è chiuso rispetto all’addizione e alla moltiplicazione.

Dati $a,b,c \in \mathbb{N}$, valgono le seguenti proprietà:

Commutativa dell’addizione e della moltiplicazione:

$a+b=b+a$

$a\cdot b =b\cdot a$

Associativa dell’addizione e della moltiplicazione:

$(a+b)+c=a+(b+c)$

$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$

Distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione:

$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

$(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$

Elemento neutro dell’addizione

$a+0=0+a=a$

Elemento neutro della moltiplicazione

$a\cdot 1=1\cdot a=a$

Elemento assorbente della moltiplicazione

$a\cdot 0=0\cdot a=0$

Legge di annullamento del prodotto

Il prodotto di due fattori è zero se e solo se almeno uno dei due fattori è zero. In simboli:

$a\cdot b=0$ se e solo se $a=0$ o $b=0$

SOTTRAZIONE E DIVISIONE

La sottrazione è l’operazione inversa dell’addizione, mentre la divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione.

La sottrazione e la divisione non sono operazioni interne a $\mathbb{N}$ o, in modo equivalente, $\mathbb{N}$ non è chiuso rispetto alla sottrazione e alla divisione.

Dati $a,b,c \in \mathbb{N}$, valgono le seguenti proprietà:

Invariantiva della sottrazione

$a-b=(a+c)-(b+c)$

$a-b=(a-c)-(b-c)$ (purché siano possibili le sottrazioni in $\mathbb{N}$)

Invariantiva della divisione

$a:b=(a\cdot c) : (b\cdot c)$

$a : b=(a : c) : (b : c)$ (purché siano possibili le divisioni in $\mathbb{N}$

Distributiva della moltiplicazione rispetto alla sottrazione

$a\cdot (b-c)=a\cdot b – a\cdot c$ (purché siano possibili le sottrazioni in $\mathbb{N}$)

$(a-b)\cdot c=a\cdot c – b\cdot c$ (purché siano possibili le sottrazioni in $\mathbb{N}$)

Distributiva a destra della divisione rispetto all’addizione e alla sottrazione

$(a+b):c=a : c + b : c$ (purché siano possibili le divisioni in $\mathbb{N}$)

$(a-b):c=a : c – b : c$ (purché siano possibili le divisioni in $\mathbb{N}$)

La sottrazione e la divisione non godono della proprietà commutativa né della proprietà associativa.

La divisione non è distributiva a sinistra rispetto all’addizione e alla sottrazione.