Calcolare i seguenti limiti mediante il teorema di de L’Hopital:

a) $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{e^{2x}}{x-1}$;

b) $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{\ln x}{2x}$;

c) $\displaystyle \lim_{x\to 2} \frac{x^2-4}{x^3-8}$;

d) $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} x^2e^{-x^3}$.

SOLUZIONE

a) $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{e^{2x}}{x-1} =\frac{+\infty}{+\infty}$ (forma indeterminata)

Applichiamo il teorema di de L’Hopital:

$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{2e^{2x}}{1} =+\infty$.

b) $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{\ln x}{2x} =\frac{+\infty}{+\infty}$ (forma indeterminata)

Applichiamo il teorema di de L’Hopital:

$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{\frac{1}{x}}{2} = \lim_{x\to +\infty} \frac{1}{2x}=\frac{1}{+\infty}=0$.

c) $\displaystyle \lim_{x\to 2} \frac{x^2-4}{x^3-8}=\frac{0}{0}$ (forma indeterminata)

Applichiamo il teorema di de L’Hopital:

$\displaystyle \lim_{x\to 2} \frac{2x}{3x^2}=\lim_{x\to 2} \frac{2}{ 3x}=\frac{1}{3}$.

d) $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} x^2e^{-x^3}=\lim_{x\to +\infty} \frac{x^2}{e^{x^3}}=\frac{+\infty}{+\infty}$ (forma indeterminata)

Applichiamo il teorema di de L’Hopital:

$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{2x}{3x^2e^{x^3}}=\lim_{x\to +\infty} \frac{2}{3xe^{x^3}}=\frac{2}{+\infty}=0$.