Stabilire se è possibile applicare il teorema di Lagrange alle seguenti funzioni nell’intervallo indicato e, in caso affermativo, determinare i punti c di cui il teorema garantisce l’esistenza.

a) $\displaystyle f(x)=2x^2+3x-1$ in $[-1,1]$;

b) $\displaystyle f(x)=\frac{x}{x-1}$ in $[1,4]$;

a) Verifichiamo se sono soddisfatte le ipotesi del teorema di Lagrange:

– La funzione $\displaystyle f(x)=2x^2+3x-1$ è continua in $[-1,1]$;

– La sua derivata è: $\displaystyle f'(x)=4x+3$; la funzione è derivabile in $(-1,1)$.

Le ipotesi del teorema sono soddisfatte, quindi esiste almeno un punto $c\in(a,b)$ tale che $\displaystyle f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

$\displaystyle f(b)=f(1)=2(1)^2+3(1)-1=4$;

$\displaystyle f(a)=f(-1)=2(-1)^2+3(-1)-1=-2$;

$\displaystyle 4c+3=\frac{4-(-2)}{1-(-1)}$;

$\displaystyle 4c+3=\frac{4+2}{1+1}$;

$\displaystyle 4c+3=3$;

$\displaystyle c=0$.

b) Verifichiamo se sono soddisfatte le ipotesi del teorema di Lagrange:

– La funzione $\displaystyle f(x)=\frac{x}{x-1}$ non è continua in $[1,4]$ in quanto non è definita in 1, quindi non sono soddisfatte le ipotesi del teorema.