1) $\displaystyle \int \frac{x}{{x+1}} \, dx$

L’integrale può essere riscritto come la somma di due integrali (aggiungiamo e sottraiamo 1 al numeratore):

$\displaystyle \int \frac{x+1-1}{{x+1}} \, dx=$

$\displaystyle =\int \left(1 – \frac{1}{{x+1}}\right) \, dx =$

$\displaystyle =\int 1 \, dx – \int\frac{1}{{x+1}} \, dx =$

$\displaystyle = x – \ln|x+1| + c$

2) $\displaystyle \int \frac{x^2}{{x^2+1}} \, dx =$

L’integrale può essere riscritto come la somma di due integrali (aggiungiamo e sottraiamo 1 al numeratore):

$\displaystyle \int \frac{x^2+1-1}{{x^2+1}} \, dx =$

$\displaystyle =\int \left(1 – \frac{1}{{x^2+1}}\right) \, dx =$

$\displaystyle = \int 1 \, dx – \int \frac{1}{{x^2+1}} \, dx =$

$\displaystyle = x – \arctan(x) + c$

3) $\displaystyle \int \frac{x^3}{{x^2+1}} \, dx =$

L’integrale può essere riscritto come la somma di due integrali (aggiungiamo e sottraiamo x al numeratore):

$\displaystyle \int \frac{x^3+x-x}{{x^2+1}} \, dx =$

$\displaystyle =\int \frac{x(x^2+1)-x}{{x^2+1}} \, dx =$

$\displaystyle =\int \left(x – \frac{x}{{x^2+1}}\right) \, dx =$

$\displaystyle = \int x\, dx – \int \frac{x}{{x^2+1}}\, dx =$

$\displaystyle = \frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}\ln(x^2+1)+c$