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Esercizi sugli integrali: integrali di funzioni elementari

Integrali di funzioni elementari

ESERCIZIO

Calcola i seguenti integrali:

a) \displaystyle \int \left(x^2+3x+2\right) \ \mathrm dx
b) \displaystyle \int \left(\sqrt[3]{x^4}+3x^2+\sin x\right) \ \mathrm dx

SOLUZIONE
Ricordiamo che \displaystyle \int \left[k f(x)+h g(x)\right] \ \mathrm dx=k\int f(x) \ \mathrm dx +h\int g(x) \ \mathrm dx, cioè l'integrale della somma di funzioni è uguale alla somma degli integrali delle singole funzioni e le costanti che moltiplicano le funzioni possono essere portate fuori dall'integrale.

a) \displaystyle \int \left(x^2+3x+2\right) \ \mathrm dx=\int x^2 \ \mathrm dx + 3\int x \ \mathrm dx +\int 2 \ \mathrm dx= \frac{1}{2+1}x^{2+1}+\frac{3}{1+1}x^{1+1}+2x+c=\frac{1}{3}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}+2x+c

b) \displaystyle \int \left(\sqrt[3]{x^4}+3 x^2+\sin x\right) \ \mathrm dx=\int x^{\frac{4}{3}}\ \mathrm dx+3\int x^2\ \mathrm dx+\int \sin x\ \mathrm dx =\frac{1}{\frac{4}{3}+1}x^{\frac{4}{3}+1}+\frac{3}{2+1}x^{2+1}-\cos x+c=\frac{1}{\frac{7}{3}}x^{\frac{7}{3}}+\frac{3}{3}x^{3}-\cos x+c=\frac{3}{7}x^{\frac{7}{3}}+x^{3}-\cos x+c

Esercizi sugli integrali: Integrale doppio in coordinate polari


ESERCIZIO

Calcola il seguente integrale: \displaystyle \int\int _\Omega (x+y^2)dx dy

con \Omega=\lbrace (x, y)\in \mathbb{R}^2:1\leq x^2+y^2 \leq 4, x\geq0, y\geq 0\rbrace.

SOLUZIONE

Passiamo alle coordinate polari nel piano:

\left \{\begin{array}{ll} x=\rho\cos\vartheta\\ y=\rho\sin\vartheta\\ \end{array}\right.

con \rho=\sqrt{x^2+y^2}, \rho\geq 0 e 0\leq \vartheta <2\pi.

Nel nostro caso abbiamo:

\Omega'=\lbrace (\rho, \vartheta)\in \mathbb{R}^2:1\leq \rho \leq 2, 0\leq \vartheta \leq \frac{\pi}{2}\rbrace;

\displaystyle \int\int _{\Omega'} \left[\rho\cos\vartheta+(\rho\sin\vartheta)^2\right]\rho d\rho d\vartheta;

\displaystyle \int\int _{\Omega'} \left(\rho^2\cos\vartheta+\rho^3\sin^2\vartheta\right)d\rho d\vartheta;

\displaystyle \int_1^2 \rho^2d\rho\int_0^\frac{\pi}{2}\cos\vartheta d\vartheta+\int_1^2\rho^3d\rho\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^2\vartheta d\vartheta=\displaystyle \left[\frac{1}{3}\rho^3\right]_1^2\left[\phantom{\frac{\pi}{2}}\sin\vartheta\right]_0^{\frac{\pi}{2}}+\left[\frac{1}{4}\rho^4\right]_1^2\left[\frac{1}{2}\left(\vartheta-\sin\vartheta\cos\vartheta\right)\right]_0^\frac{\pi}{2}=\frac{7}{3}+\frac{15}{16}\pi.

Esercizi sugli integrali: lunghezza di una curva

ESERCIZIO

Data una curva di equazioni parametriche \Phi(t)=(\sin t, t, 1-\cos t), con t\in[0, 2\pi], si calcoli la sua lunghezza l(\Phi).

SOLUZIONE

Consideriamo le componenti x(t)=\sin t, y(t)=t, z(t)=1-\cos t e le rispettive derivate x'(t)=\cos t, y'(t)=1, z'(t)=\sin t.

La lunghezza della curva è data da \displaystyle l(\Phi)=\int_0^{2\pi}\sqrt{\cos^2 t+ 1 +\sin^2 t} dt=\int_0^{2\pi}\sqrt{2} dt=[\sqrt{2}t]_0^{2\pi}=2\sqrt{2}\pi.

 

Esercizi sugli integrali: integrazione per sostituzione

Calcola i seguenti integrali con il metodo di integrazione per sostituzione:

ESERCIZIO 1) \displaystyle \int\frac{e^{x}}{\sqrt{1-e^{2x}}}dx.

SOLUZIONE

Poniamo t=e^x da cui dt=e^x dx.

Effettuiamo la sostituzione e calcoliamo l'integrale immediato \displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt=arcsin(t)+c .

Poi ritorniamo alla variabile x:  \displaystyle \int\frac{e^{x}}{\sqrt{1-e^{2x}}}dx=arcsin(e^x)+c .

ESERCIZIO 2) \displaystyle \int\frac{\sqrt{tan x}}{cos^2x}dx.

SOLUZIONE

Poniamo tan x=t da cui \frac{1}{cos^2x}dx=dt.

Effettuiamo la sosituzione e calcoliamo l'integrale immediato \displaystyle \int\sqrt{t}dt=\frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}+c.

Poi ritorniamo alla variabile x:  \displaystyle \int\frac{\sqrt{tan x}}{cos^2x}dx=\frac{2}{3}(tanx)^{\frac{3}{2}}+c.