Calcolare $\displaystyle\int (x \cdot \sqrt{x – 1}) dx$.

Scegliamo $t = \sqrt{x – 1}$ come variabile ausiliaria.

Quindi, otteniamo $x = t^2 + 1$ e $dx = 2t dt$

L’integrale diventa:

$\displaystyle\int (x \cdot \sqrt{x – 1}) dx = \int (t^2 + 1) \cdot t \cdot 2t dt = 2 \int (t^4 + t^2) dt=\frac{2}{5}t^5+\frac{2}{3}t^3+c$

Ritorniamo alla variabile $x$:

$\displaystyle\int (x \cdot \sqrt{x – 1}) dx = \frac{2}{5}\sqrt {(x-1)^5} + \frac{2}{3} \sqrt{(x-1)^3}+ c$